LeetCode 509 斐波那契数

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斐波那契数（通常用F(n)表示）的定义：

 F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n>1由斐波那契数构成的序列称为斐波那契数列，它由0，1开始(正宗的斐波那契数列应该是以1，1开始，没有F(0)这一项)，之后的每一项都是前两项之和。

题目要求给定一个数n，计算F(n)的值。(0<=n<=30)

斐波那契数列因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死：
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：

所以能得出以下公式：

幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数=前月总体对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数=前月总体对数+前月成兔对数=前月总体对数+前前月总体对数    //F(n)=F(n-1)+F(n-2)的来源
//希望这几个公式没有把你绕晕

方法一、递归

斐波那契序列是典型的递归问题。除了头两项以外，其他F(n)的值取决于F(n-1)，F(n-2)。而F(n-1)，F(n-2)又取决于它们前两项的值，以此类推，在此我就不过多赘述。代码如下：

//递归
class Solution {public int fib(int n) {if(n<2) {return n;}return fib(n-1)+fib(n-2);}
}

方法二、动态规划

递归的代码虽然简捷明了，看起来赏心悦目，但函数调用的次数很多，开销很大，而且它里面进行了很多重复计算。举个例子，如下图，计算F(9)时，F(7)要计算2次，F(6)要计算3次…n越大，重复计算的次数就越多，时间复杂度为O(2^n)，指数爆炸，这并不可取。

如果将每次计算的F(n)存起来，那么将会大大减少计算的次数，这就是动态规划的思想。状态转移方程就是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，边界条件就是F(0)=0，F(1)=1，用dp[n]存储F(n)。代码如下：

class Solution {public int fib(int n) {if(n<2) {return n;}int[] dp=new int[n+1];//边界条件，dp数组的初始化dp[0]=0;dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
}

因为最后结果只要求返回F(n)，而F(n)只与F(n-1)、F(n-2)有关，所以，上面空间复杂度为O(n)的方法还可以优化，利用滚动数组的思想，用两个变量存储F(n-1)、F(n-2)，将空间复杂度降为O(1)。代码如下：

//动态规划
class Solution {public int fib(int n) {if(n<2) {return n;}//p，q是边界F(0)、F(1)int p=0;int q=1;int res=0;for(int i=1;i<n;i++){res=p+q;p=q;q=res;}return res;}
}

方法三、公式法

这里直接粘贴官方题解中有关公式法的介绍

第一次看完我大受震憾，只能说自己实力不够还得好好学习吧。代码如下：

 class Solution {public int fib(int n) {double temp=Math.sqrt(5);double ans=(1/temp)*(Math.pow((1+temp)/2,n)-Math.pow((1-temp)/2,n));return (int)Math.round(ans);//round()函数参数为double型时，返回一个最接近该参数的long型数，参数为float型时，返回一个最接近的int值}}

类比

该题与LeetCode 70 题爬楼梯 LeetCode链接十分相似。同时，LeetCode 剑指offer 10-I 斐波那契数列 LeetCode链接中有当n很大时关于取模的处理，都可以尝试做一下。

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