偏序格.

给定偏序集合 <L,⪯>\big<L,\preceq\big>⟨L,⪯⟩，如果对于 LLL 中的任意一对元素 a,ba,ba,b，都有最大下界和最小上界，则称 <L,⪯>\big<L,\preceq\big>⟨L,⪯⟩ 为格。
通常以 a∗ba*ba∗b 表示 {a,b}\{a,b\}{a,b} 的最大下界，a⊕ba\oplus ba⊕b 表示 {a,b}\{a,b\}{a,b} 的最小上界，即：a∗b=glb{a,b}a*b=glb\{a,b\}a∗b=glb{a,b}a⊕b=lub{a,b}a\oplus b=lub\{a,b\}a⊕b=lub{a,b}也分别称这两个运算为保交和保联，由于最大下界、最小上界都属于集合 LLL，并且保交和保联可以视为二元运算，这为后面从代数角度研究格奠定了基础。

在偏序集 <A,⪯>\big<A,\preceq\big>⟨A,⪯⟩ 中，B⊆AB\subseteq AB⊆A，如果对于 b∈B,∀x∈Bb\in B,\forall~x\in Bb∈B,∀ x∈B都有：x≤bx\leq bx≤b那么称元素 bbb 是 BBB 的最大元素，类似地可以定义最小元素。
如果对于 bbb 而言，BBB 中不存在元素 xxx 满足：b≠x∧b≤xb\neq x\wedge b\leq xb=x∧b≤x那么称 bbb 是集合 BBB 的极大元素，类似地可以定义极小元素。
如果对于 ∀x∈B\forall~x\in B∀ x∈B 而言，有元素 a∈Aa\in Aa∈A 满足：x≤ax\leq ax≤a那么 aaa 称为 BBB 的上界；若 aaa 满足 a≤xa\leq xa≤x 则称为下界。
于是对于上界这一概念而言，我们关心的是最小上界 least−upper−boundleast-upper-boundleast−upper−bound，而相应地关注最大下界 greatest−lower−bound.greatest-lower-bound.greatest−lower−bound. 对于上界 aaa 而言，如果所有的上界 a′a'a′ 都满足：a≤a′a\leq a'a≤a′则 aaa 是最小上界；类似的对于最大下界 aaa 需要满足：a≥a′a\geq a'a≥a′才能成为最大下界。
上述定义中的表述隐含：集合 BBB 的最大(小)元素、极大(小)元素必须在集合中，而界则没有这样的要求，这也很符合直观上的感受。最大(小)元素如果存在，那么必然是唯一的，否则不存在；极大(小)元素和上(下)界可能存在也可能不存在，并且如果存在也不一定要唯一。
例如集合 <I,≤>\big<I,\leq\big>⟨I,≤⟩，考虑其子集 E={2i∣i∈N}E=\{2i|i\in N\}E={2i∣i∈N}，那么可以发现 EEE 既没有极大元素、最大元素，也没有上界以及最小上界。但我们能够证明：对于非空有限的偏序集，其极大(小)元素一定存在。
最小上界与最大下界如果存在的话，那么是唯一的。比较最大(小)元素与最小上界、最大下界之间的定义，我们不难发现：① 如果 bbb 是 BBB 的最大元素，那么 bbb 是 BBB 的最小上界 lublublub；相应地如果最小元素 b′b'b′ 存在，那么它是最大下界 glb.glb.glb.

【例】考虑偏序集合 <I+,D>\big<I^{+},D\big>⟨I+,D⟩，其中 I+I^{+}I+ 是正整数，DDD 是整除关系。任取一对元素 a,b∈I+a,b\in I^{+}a,b∈I+，其最小上界从定义来看是 a,ba,ba,b 的最小公倍数，即：a⊕b=LCM(a,b)=luba\oplus b=LCM(a,b)=luba⊕b=LCM(a,b)=luba≤lub,b≤luba\leq lub~,~b\leq luba≤lub , b≤lub类似地，其最大下界为 a,ba,ba,b 的最大公因数：a∗b=GCD(a,b)=glba*b=GCD(a,b)=glba∗b=GCD(a,b)=glbglb≤a,glb≤bglb\leq a~,~glb\leq bglb≤a , glb≤b并且根据整除的定义我们不难发现，最小公倍数和最大公因数都属于该偏序集，因此上述偏序集合 <I+,D>\big<I^{+},D\big>⟨I+,D⟩ 是格。

回忆《等价关系》中提到的细分，我们论证过细分是一个偏序关系，它满足自反、传递、反对称，记细分关系为 ⪯\preceq⪯，考虑偏序集合 <π(S),⪯>.\big<\pi(S),\preceq\big>.⟨π(S),⪯⟩.
在划分中定义过划分的积与和，我们给定两划分 π1,π2\pi_1,\pi_2π1,π2，划分的积定义为 π=π1⋅π2\pi=\pi_1·\pi_2π=π1⋅π2，它满足：① π⪯π1,π⪯π2\pi\preceq\pi_1,\pi\preceq\pi_2π⪯π1,π⪯π2；② 如果存在划分 π′\pi'π′ 满足 π′⪯π1,π′⪯π2\pi'\preceq\pi_1,\pi'\preceq\pi_2π′⪯π1,π′⪯π2，那么一定有 π′⪯π\pi'\preceq\piπ′⪯π，上述结论概括为划分的积 π1⋅π2\pi_1·\pi_2π1⋅π2 是细分 π1,π2\pi_1,\pi_2π1,π2 的最小划分；
类似地定义划分的和 π=π1+π2\pi=\pi_1+\pi_2π=π1+π2，它满足：① π1⪯π,π2⪯π\pi_1\preceq\pi,\pi_2\preceq\piπ1⪯π,π2⪯π；② 如果存在划分 π′\pi'π′ 满足 π1⪯π′,π2⪯π\pi_1\preceq\pi',\pi_2\preceq\piπ1⪯π′,π2⪯π，那么一定有 π⪯π′\pi\preceq\pi'π⪯π′，上述结论概括为划分的和 π1+π2\pi_1+\pi_2π1+π2 是 π1,π2\pi_1,\pi_2π1,π2 所细分的最大划分。
从划分的秩来看，π1⋅π2\pi_1·\pi_2π1⋅π2 是细分中秩最小的，而 π1+π2\pi_1+\pi_2π1+π2 是被细分的划分中秩最大的；而从细分偏序关系来看：∀π,π⪯π1,π⪯π2;π⪯π1⋅π2\forall~\pi,~\pi\preceq\pi_1,\pi\preceq\pi_2~;~\pi\preceq\pi_1·\pi_2∀ π, π⪯π1,π⪯π2 ; π⪯π1⋅π2∀π,π1⪯π,π2⪯π;π1+π2⪯π\forall~\pi,\pi_1\preceq\pi,\pi_2\preceq\pi~;~\pi_1+\pi_2\preceq\pi∀ π,π1⪯π,π2⪯π ; π1+π2⪯π正对应着最大下界和最小上界，即格中的保交、保联。
在《决策系统与粗糙集》中我们谈到如下的性质：
于是我们可以发现，划分的积与和，分别对应着最大下界和最小上界运算，全部近似空间的细分关系哈斯图如下：
格的特殊性质：最大下界、最小上界一定存在，反映到哈斯图中即：一定有上顶点和下顶点，但反过来不成立。

代数格.

设 <L,∗,⊕>\big<L,*,\oplus\big>⟨L,∗,⊕⟩ 是代数系统，其中 ∗,⊕*,\oplus∗,⊕ 都是定义在 LLL 上的二元运算，如果它们都是可交换、可结合的，并且满足吸收律，那么该代数系统是格。

【吸收律】a∗(a⊕b)=a;a⊕(a∗b)=aa*(a\oplus b)=a~;~a\oplus(a*b)=aa∗(a⊕b)=a ; a⊕(a∗b)=a
借助前面偏序格的最大下界、最小上界理解较为直观，a,ba,ba,b 的最小上界一定满足 a⪯luba\preceq luba⪯lub，那么再求 a∗luba*luba∗lub，即最大下界，一定是 a.a.a. 后一等式同理。

【代数格、偏序格等价】对于代数系统格 <L,∗,⊕>\big<L,*,\oplus\big>⟨L,∗,⊕⟩ 而言，载体 LLL 中存在一偏序关系，对于所有的 a,b∈La,b\in La,b∈L：a∗b=glb{a,b}(1)a*b=glb\{a,b\}\tag{1}a∗b=glb{a,b}(1)a⊕b=lub{a,b}(2)a\oplus b=lub\{a,b\}\tag{2}a⊕b=lub{a,b}(2)保交和保联的符号，有些文献中也记为 (∧,∨)\big(\wedge~,\vee\big)(∧ ,∨) 或 (∩,∪).\big(\cap~,\cup\big).(∩ ,∪).

【证明】构造二元关系 ≤\leq≤ 如下：∀a,b∈L;a≤b⇔a∗b=a.\forall~a,b\in L~;~a\leq b\Leftrightarrow a*b=a.∀ a,b∈L ; a≤b⇔a∗b=a.根据吸收律可知：a∗a=a∗(a⊕(a∗a))=aa*a=a*\big(a\oplus(a*a)\big)=aa∗a=a∗(a⊕(a∗a))=a因此我们可以得到：(a∗a=a)⇒a≤a(a*a=a)\Rightarrow a\leq a(a∗a=a)⇒a≤a自反性得证.

对于 a,b∈La,b\in La,b∈L，如果 a≤ba\leq ba≤b 且 b≤ab\leq ab≤a，那么下面两式成立：a=a∗b;b=b∗aa=a*b~;~b=b*aa=a∗b ; b=b∗a但由于 ∗*∗ 运算可交换，因此 a=ba=ba=b，反对称性得证.

对于 a,b,c∈La,b,c\in La,b,c∈L，如果 a≤b,b≤ca\leq b,b\leq ca≤b,b≤c，那么下面两式成立：a=a∗b;b=b∗ca=a*b~;~b=b*ca=a∗b ; b=b∗c根根据 ∗*∗ 满足结合律，我们得到：a∗c=(a∗b)∗c=a∗(b∗c)=aa*c=(a*b)*c=a*(b*c)=aa∗c=(a∗b)∗c=a∗(b∗c)=a因此 a≤ca\leq ca≤c，传递性得证. 至此我们证明了上述二元关系是一个偏序关系。

再证明：a≤b⇔a∗b=a⇔a⊕b=ba\leq b\Leftrightarrow a*b=a\Leftrightarrow a\oplus b=ba≤b⇔a∗b=a⇔a⊕b=b
根据 a∗b=aa*b=aa∗b=a 以及吸收律、交换律，我们有：b=b⊕(b∗a)=b⊕(a∗b)=b⊕a=a⊕bb=b\oplus(b*a)=b\oplus(a*b)=b\oplus a=a\oplus bb=b⊕(b∗a)=b⊕(a∗b)=b⊕a=a⊕b即：a⊕b=ba\oplus b=ba⊕b=b充分性得证.
根据 a⊕b=ba\oplus b=ba⊕b=b 我们有：a∗(a⊕b)=a∗b=aa*(a\oplus b)=a*b=aa∗(a⊕b)=a∗b=a必要性得证. 至此我们得到了：a≤b⇔a∗b=a⇔a⊕b=ba\leq b\Leftrightarrow a*b=a\Leftrightarrow a\oplus b=ba≤b⇔a∗b=a⇔a⊕b=b

对于运算 ∗*∗，我们有：(a∗b)∗a=a∗b;(a∗b)∗b=a∗b(a*b)*a=a*b~;~(a*b)*b=a*b(a∗b)∗a=a∗b ; (a∗b)∗b=a∗b根据偏序关系定义：a∗b≤a;a∗b≤ba*b\leq a~;~a*b\leq ba∗b≤a ; a∗b≤b这意味着 a∗ba*ba∗b 是 a,ba,ba,b 的下界，对于 a,ba,ba,b 的任一下界 ccc，我们有 c∗a=c,c∗b=cc*a=c,c*b=cc∗a=c,c∗b=c，因此得到：c∗(a∗b)=(c∗a)∗b=c∗b=cc*(a*b)=(c*a)*b=c*b=cc∗(a∗b)=(c∗a)∗b=c∗b=c这意味着 c≤(a∗b)c\leq (a*b)c≤(a∗b)，因此 a∗ba*ba∗b 是 a,ba,ba,b 的最大下界 glb.glb.glb.

对于运算 ⊕\oplus⊕，基于 a⊕(a⊕b)=a⊕b;b⊕(a⊕b)=a⊕ba\oplus(a\oplus b)=a\oplus b~;~b\oplus(a\oplus b)=a\oplus ba⊕(a⊕b)=a⊕b ; b⊕(a⊕b)=a⊕b能够证明 a⊕ba\oplus ba⊕b 是最小上界 lub.lub.lub.

证明了偏序格与代数格等价后，我们可以将《代数系统》中提到的子代数、同态以及积代数等概念应用到作为代数系统的格上。

【子格】集合 S⊆LS\subseteq LS⊆L 对于保交、保联运算 ∗,⊕*,\oplus∗,⊕ 封闭，也即每对元素的最大下界、最小上界属于集合 S.S.S. 注意子格会继承吸收律、交换律和结合律。

【格同态】对于两个格 <L,∗,⊕>\big<L,*,\oplus\big>⟨L,∗,⊕⟩ 和 <S,∧,∨>\big<S,\wedge,\vee\big>⟨S,∧,∨⟩，如果存在映射 f:L→Sf:L\rightarrow Sf:L→S 满足：∀a,b∈L,f(a∗b)=f(a)∧f(b)\forall~a,b\in L~,~f(a*b)=f(a)\wedge f(b)∀ a,b∈L , f(a∗b)=f(a)∧f(b)f(a⊕b)=f(a)∨f(b)f(a\oplus b)=f(a)\vee f(b)f(a⊕b)=f(a)∨f(b)那么称 fff 是从 <L,∗,⊕>\big<L,*,\oplus\big>⟨L,∗,⊕⟩ 到 <S,∧,∨>\big<S,\wedge,\vee\big>⟨S,∧,∨⟩ 的格同态，如果映射 fff 具有特殊性质，则对应的同态具有特殊性质(单一同态、满同态以及同构).
格同态具有保序性，即格同态函数 fff 满足：∀a,b∈L,(a≤b)⇒(f(a)≤′f(b))\forall~a,b\in L,(a\leq b)\Rightarrow\Big(f(a)\leq'f(b)\Big)∀ a,b∈L,(a≤b)⇒(f(a)≤′f(b))
证明：由于 a≤ba\leq ba≤b，则 a∗b=aa*b=aa∗b=a，因此：f(a∗b)=f(a)∧f(b)=f(a)f(a*b)=f(a)\wedge f(b)=f(a)f(a∗b)=f(a)∧f(b)=f(a)即 f(a)≤′f(b).f(a)\leq'f(b).f(a)≤′f(b).
注意保序性是右向箭头，其逆不真，例如我们考虑 <L,D>\big<L,D\big>⟨L,D⟩ 和 <S,≤>\big<S,\leq\big>⟨S,≤⟩，其中 L=S={1,2,3,4,6,12}L=S=\{1,2,3,4,6,12\}L=S={1,2,3,4,6,12} 是 121212 的因子集合，DDD 是整除关系，构造函数 f:L→S,f(x)=xf:L\rightarrow S,f(x)=xf:L→S,f(x)=x，显然是保序的，但又易发现 fff 并不是同态函数，因为：f(2∗3)=f(1)=1,f(2)∧f(3)=2∧3=2.f(2*3)=f(1)=1~,~f(2)\wedge f(3)=2\wedge3=2.f(2∗3)=f(1)=1 , f(2)∧f(3)=2∧3=2.
同构的格反映在其哈斯图完全一致(忽视结点命名)，基数为 1,2,31,2,31,2,3 的格仅有一种形态，基数为 444 的格有两种形态，基数为 555 的格有五种形态。

【积代数】对于两个格 <L,∗,⊕>\big<L,*,\oplus\big>⟨L,∗,⊕⟩ 和 <S,∧,∨>\big<S,\wedge,\vee\big>⟨S,∧,∨⟩，定义代数系统 <L×S,∘,+>\big<L\times S,\circ,+\big>⟨L×S,∘,+⟩ 如下：<a1,b1>∘<a2,b2>=<a1∗a2,b1∧b2>\big<a_1,b_1\big>\circ\big<a_2,b_2\big>=\big<a_1*a_2,b_1\wedge b_2\big>⟨a1,b1⟩∘⟨a2,b2⟩=⟨a1∗a2,b1∧b2⟩<a1,b1>+<a2,b2>=<a1⊕a2,b1∨b2>\big<a_1,b_1\big>+\big<a_2,b_2\big>=\big<a_1\oplus a_2,b_1\vee b_2\big>⟨a1,b1⟩+⟨a2,b2⟩=⟨a1⊕a2,b1∨b2⟩称为这两个格的积代数，它也是一个代数格，并且我们可以发现其载体为笛卡尔积 L×SL\times SL×S，集合的基数等于原来两集合的乘积，在此基础上还可以衍生出更大的积代数，这样可以借助较小的格构造出越来越大的格。

特殊格.

特殊的格主要介绍分配格和有补格，以及同时具有二者性质的有补分配格，另外还会出现模格的概念。

分配格.

从代数角度来看，对于我们定义的保交、保联运算，格中的元素一定会满足下面的不等式：a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗(a⊕c)(ie.1)a\oplus(b*c)\leq(a\oplus b)*(a\oplus c)\tag{ie.1}a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗(a⊕c)(ie.1)a∗(b⊕c)≤(a∗b)⊕(a∗c)(ie.2)a*(b\oplus c)\leq(a*b)\oplus(a*c)\tag{ie.2}a∗(b⊕c)≤(a∗b)⊕(a∗c)(ie.2)上述两式称为分配不等式，因为不等式左右是应用了分配律前后的形式。从运算的意义来看，不等式 (ie.1)(ie.1)(ie.1) 表达的是 aaa 与 b,cb,cb,c 的最大下界求最小上界的结果一定不超过 aaa 与 bbb 和 ccc 分别求最小上界后再求最大下界。分配不等式 (ie.1)(ie.1)(ie.1) 可以通过如下的方式证明：(a≤a⊕b,a≤a⊕c)⇒a∗a=a≤(a⊕b)∗(a⊕c)(a\leq a\oplus b,a\leq a\oplus c)\Rightarrow a*a=a\leq(a\oplus b)*(a\oplus c)(a≤a⊕b,a≤a⊕c)⇒a∗a=a≤(a⊕b)∗(a⊕c)(b≤a⊕b,c≤a⊕c)⇒b∗c≤(a⊕b)∗(a⊕c)(b\leq a\oplus b,c\leq a\oplus c)\Rightarrow b*c\leq(a\oplus b)*(a\oplus c)(b≤a⊕b,c≤a⊕c)⇒b∗c≤(a⊕b)∗(a⊕c)所以最终得到：a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗(a⊕c)a\oplus(b*c)\leq(a\oplus b)*(a\oplus c)a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗(a⊕c)
上述证明的最后一步由最小上界运算 ⊕\oplus⊕ 的意义不难得出。

但某些特殊的格中，所有的元素都满足下面的分配律：a⊕(b∗c)=(a⊕b)∗(a⊕c)(e.1)a\oplus(b*c)=(a\oplus b)*(a\oplus c)\tag{e.1}a⊕(b∗c)=(a⊕b)∗(a⊕c)(e.1)a∗(b⊕c)=(a∗b)⊕(a∗c)(e.2)a*(b\oplus c)=(a*b)\oplus(a*c)\tag{e.2}a∗(b⊕c)=(a∗b)⊕(a∗c)(e.2)那么我们称其为分配格.
在这里上面两式是等价的，如果 (e.1)(e.1)(e.1) 成立，那么根据吸收律我们有：(a∗b)⊕(a∗c)=[a⊕(a∗b)]∗[c⊕(a∗b)]=a∗(a⊕c)∗(b⊕c)=a∗(b⊕c)(a*b)\oplus(a*c)=\big[a\oplus(a*b)\big]*\big[c\oplus(a*b)\big]=a*(a\oplus c)*(b\oplus c)=a*(b\oplus c)(a∗b)⊕(a∗c)=[a⊕(a∗b)]∗[c⊕(a∗b)]=a∗(a⊕c)∗(b⊕c)=a∗(b⊕c)

【模格】如果格中的元素满足：∀a,b∈L,a≤c⇒(a⊕(b∗c)=(a⊕b)∗c)\forall~a,b\in L~,~a\leq c\Rightarrow\Big(a\oplus (b*c)=(a\oplus b)*c\Big)∀ a,b∈L , a≤c⇒(a⊕(b∗c)=(a⊕b)∗c)那么称之为模格.
这一概念是针对模不等式而出现的，模不等式对于任意格的元素都成立：a≤c⇔(a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗c)a\leq c\Leftrightarrow\Big(a\oplus (b*c)\leq(a\oplus b)*c\Big)a≤c⇔(a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗c)其直观意义是先求最大下界再求最小上界的结果不超过先求最大下界再求最小上界的结果。
证明：偏序关系的定义决定：a≤c⇒a⊕c=ca\leq c\Rightarrow a\oplus c=ca≤c⇒a⊕c=c根据分配不等式：a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗(a⊕c)=(a⊕b)∗ca\oplus(b*c)\leq(a\oplus b)*(a\oplus c)=(a\oplus b)*ca⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗(a⊕c)=(a⊕b)∗c充分性得证.
若 a⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗ca\oplus (b*c)\leq(a\oplus b)*ca⊕(b∗c)≤(a⊕b)∗c，根据 ∗,⊕*,\oplus∗,⊕ 的定义可知：a≤a⊕(b∗c)a\leq a\oplus(b*c)a≤a⊕(b∗c)(a⊕b)∗c)≤c(a\oplus b)* c)\leq c(a⊕b)∗c)≤c根据传递性可知 a≤c.a\leq c.a≤c. 必要性得证.

【定理】分配格是模格.
【证明】分配格中分配律成立：a⊕(b∗c)=(a⊕b)∗(a⊕c)a\oplus(b*c)=(a\oplus b)*(a\oplus c)a⊕(b∗c)=(a⊕b)∗(a⊕c)如果 a≤ca\leq ca≤c，则有 a⊕c=ca\oplus c=ca⊕c=c，因此模格等式成立：a⊕(b∗c)=(a⊕b)∗(a⊕c)=(a⊕b)∗ca\oplus(b*c)=(a\oplus b)*(a\oplus c)=(a\oplus b)*ca⊕(b∗c)=(a⊕b)∗(a⊕c)=(a⊕b)∗c
格可以分为模格和非模格两种，上述定理指出：格也可以分为分配格和非分配格。但有些模格并不是分配格，例如下面的钻石格.

【判断分配格充要条件】一个格当且仅当没有任何子格同构于钻石格时，该格为分配格。五角格和钻石格都是基数为 555 的格，分别是下图中的右图和左图：
【判断模格充要条件】一个格为模格当且仅当它没有任何子格同构于五角格. 五角格不是模格，因此它必然不是分配格。

链都是分配格。
【证明】链中的偏序关系更加强烈，已经是全序关系，任意两个元素 a,ba,ba,b 之间，必然有 a≤ba\leq ba≤b 或 b≤ab\leq ab≤a 成立。设 <L,⪯>\big<L,\preceq\big>⟨L,⪯⟩ 是链，任取元素 a,b,c∈La,b,c\in La,b,c∈L，不妨设 a⪯b⪯ca\preceq b\preceq ca⪯b⪯c，那么我们有：a∗(b⊕c)=a∗c=aa*(b\oplus c)=a*c=aa∗(b⊕c)=a∗c=a(a∗b)⊕(a∗c)=a⊕a=a(a*b)\oplus(a*c)=a\oplus a=a(a∗b)⊕(a∗c)=a⊕a=a链是分配格得证.

分配格的子格是分配格，分配格的积代数是分配格。

有补格.

在介绍有补格之前，我们将最大下界、最小上界的概念扩张到格的载体 LLL 的某个非空有限子集 S={a1,a2,⋯,an}S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}S={a1,a2,⋯,an}，定义如下：glb(S)=∗iai=a1∗a2∗⋯anglb(S)=*_{i}a_i=a_1*a_2*\cdots a_nglb(S)=∗iai=a1∗a2∗⋯anlub(S)=⊕iai=a1⊕a2⊕⋯anlub(S)=\oplus_{i}a_i=a_1\oplus a_2\oplus\cdots a_nlub(S)=⊕iai=a1⊕a2⊕⋯an
对于格的某个无穷子集来说，其最大下界和最小上界不一定存在，这一点其实在偏序集中最大(小)元素的存在性中就有所体现。

【定义】如果在格 <L,⪯>\big<L,\preceq\big>⟨L,⪯⟩ 中存在一个元素 aaa，对于任何的元素 b∈Lb\in Lb∈L 都有 a⪯ba\preceq ba⪯b 成立，那么称 aaa 为格的全下界，类似地可以定义全上界。一个格的全上(下)界如果存在，是唯一的。
如果一个格存在全上界、全下界，那么我们称该格为有界格，记其上界为 111，下界为 0.0.0.
显然对于 0,10,10,1 有下面的等式成立：∀a∈L,a∗0=0,a∗1=a\forall~a\in L~,~a*0=0,a*1=a∀ a∈L , a∗0=0,a∗1=aa⊕0=a,a⊕1=1a\oplus0=a,a\oplus 1=1a⊕0=a,a⊕1=1
根据《代数系统》可知，下界 000 是这个运算 ∗*∗ 的零元，⊕\oplus⊕ 的幺元；而上界 111 是 ∗*∗ 的幺元，⊕\oplus⊕ 的零元，还说明在有界格中 0,10,10,1 互为对偶。

【有补格定义】对于有界格 <L,∗,⊕,0,1>\big<L,*,\oplus,0,1\big>⟨L,∗,⊕,0,1⟩，对于任意一个元素 aaa，如果存在元素 b∈Lb\in Lb∈L 使得a∗b=0,a⊕b=1a*b=0,a\oplus b=1a∗b=0,a⊕b=1那我们称元素 a,ba,ba,b 互为补元，元素 bbb 是元素 aaa 的补元，可以记为 a′.a'.a′. 一般来说，元素 aaa 可能不存在补元，如果存在，可能补元不唯一。如果有界格中，任意元素 a∈La\in La∈L 都至少存在一个补元，那么称此格为有补格.

【定理】对于分配格而言，如果其中的元素有补元，那么补元是唯一的。
证明： 假定 b,cb,cb,c 都是分配格元素 aaa 的补元，我们有：0=a∗b=a∗c,1=a⊕b=a⊕c0=a*b=a*c~,~1=a\oplus b=a\oplus c0=a∗b=a∗c , 1=a⊕b=a⊕c因此c=(a∗b)⊕c=(a⊕c)∗(b⊕c)=(b⊕c)∗(b⊕a)=b⊕(a∗c)=bc=(a*b)\oplus c=(a\oplus c)*(b\oplus c)=(b\oplus c)*(b\oplus a)=b\oplus (a*c)=bc=(a∗b)⊕c=(a⊕c)∗(b⊕c)=(b⊕c)∗(b⊕a)=b⊕(a∗c)=b

如果一个格，既是有补格，又是分配格，则称其为有补分配格，其更为人所知的名称是布尔格.

布尔格.

布尔格中每个元素都有唯一补元 a′a'a′，这一性质继承于分配格，因此我们可以直接在 LLL 定义一个一元运算 —— 补，这样可以将布尔格视为一个具有两个二元运算和一个一元运算的代数系统：<L,∗,⊕,′,0,1>\big<L,*,\oplus,',0,1\big>⟨L,∗,⊕,′,0,1⟩称之为布尔代数.
在布尔代数中，有 (a′)′=a\big(a'\big)'=a(a′)′=a 成立，因为：a∗a′=0,a⊕a′=1a*a'=0,a\oplus a'=1a∗a′=0,a⊕a′=1(a′)′∗a′=0,(a′)′⊕a′=1\big(a'\big)'*a'=0,\big(a'\big)'\oplus a'=1(a′)′∗a′=0,(a′)′⊕a′=1由于补元唯一，所以 a=(a′)′.a=\big(a'\big)'.a=(a′)′.

布尔代数中，有德●摩根律成立：(a⊕b)′=a′∗b′(a\oplus b)'=a'*b'(a⊕b)′=a′∗b′(a∗b)′=a′⊕b′(a*b)'=a'\oplus b'(a∗b)′=a′⊕b′

布尔代数中，对于 ∀a,b∈L\forall~a,b\in L∀ a,b∈L，有：a≤b⇔a∗b′=0⇔a′⊕b=1.a\leq b\Leftrightarrow a*b'=0\Leftrightarrow a'\oplus b=1.a≤b⇔a∗b′=0⇔a′⊕b=1.
证明： 由于 a≤ba\leq ba≤b，所以：a∗b=a,a⊕b=ba*b=a~,~a\oplus b=ba∗b=a , a⊕b=b根据德●摩根律有：a′∗b′=b′,a′⊕b′=a′a'*b'=b'~,~a'\oplus b'=a'a′∗b′=b′ , a′⊕b′=a′因此：a∗b′=a∗b∗a′∗b′=0a*b'=a*b*a'*b'=0a∗b′=a∗b∗a′∗b′=0a′⊕b=a′⊕b′⊕a⊕b=1a'\oplus b=a'\oplus b'\oplus a\oplus b=1a′⊕b=a′⊕b′⊕a⊕b=1充分性得证.
由于 a∗b′=0a*b'=0a∗b′=0，可得：b⊕(a∗b′)=(b⊕a)∗1=b⊕a=bb\oplus (a*b')=(b\oplus a)*1=b\oplus a=bb⊕(a∗b′)=(b⊕a)∗1=b⊕a=b因此：a≤ba\leq ba≤b类似地由于 a′⊕b=1a'\oplus b=1a′⊕b=1，我们有：a∗(a′⊕b)=0⊕(a∗b)=a∗b=aa*(a'\oplus b)=0\oplus (a*b)=a*b=aa∗(a′⊕b)=0⊕(a∗b)=a∗b=a因此：a≤ba\leq ba≤b至此必要性得证.

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【DM】格：偏序格与代数格

文章目录

偏序格.

代数格.

特殊格.

分配格.

有补格.

布尔格.

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