数字三角形——递归、递推、记忆化搜索

数字三角形

描述:
有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数。

问题：
从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大？

分析：

不难看出此题是一个动态的决策问题：每次有两种选择——左下或右下。如果用回溯法求出所有的可能的路线，就可以从中选出最优的路线。但和往常一样，回溯法的效率太低：一个n层数字三角形的完整路线有2^n条，当n很大时回溯法的速度将让人无法忍受。因此本题讨论用递归，递推及记忆化搜索的方法实现，虽然还有其他的方法，但此时只讨论学习比较相似的这几种方法。

最先想到的是递归实现：

#include "stdio.h"
#define maxn 100
int a[maxn][maxn],n;inline max(int x,int y)
{return x>y?x:y;
}//递归计算实现
int d(int x,int y)
{return a[x][y]+(x==n?0:max(d(x+1,y),d(x+1,y+1)));
}int main()
{while(~scanf("%d",&n))   {int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);}printf("max:%d\n",d(1,1));}return 0;
}

虽然这样做是正确的，但时间效率太低，其原因在于重复计算。
例：在下列计算中d(3,2)被重复调用

d(2,1) 的计算会调用--> d(3,1) , d(3,2)
d(2,2) 的计算会调用--> d(3,2) , d(3,3)

递推的实现：

#include "stdio.h"
#define maxn 100
int a[maxn][maxn],n;inline max(int x,int y)
{return x>y?x:y;
}//递推实现
int d(int x,int y)
{int d[n][n],i,j; for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];for(i=n-1;i>=1;i--){for(j=1;j<=i;j++)d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);}return d[x][y];
} int main()
{while(~scanf("%d",&n))   {int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);}              printf("max:%d\n",d(1,1));                            }return 0;
}

记忆化搜索实现：

#include "stdio.h"
#include "string.h"
#define maxn 100
int a[maxn][maxn],n;
int d[maxn][maxn];  //记忆化搜索所使用的状态记忆数组
inline max(int x,int y)
{return x>y?x:y;
}/*记忆话搜索。程序分成两部分。首先  memset(d,-1,sizeof(d)); 把d全部初始化为-1，
然后编写递归函数：
*/
int distance(int i,int j)
{if(d[i][j]>=0) return d[i][j];return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(distance(i+1,j),distance(i+1,j+1)));
}
/*上述程序依然是递归的，但同时也把计算结果保存在数组d中。题目中说各个数都是非负的，因此
如果已经计算过某个d[i][j]，则它应是非负的，这样，只需把所有d初始化为-1，即可通过判断是否
d[i][j]>=0得知是否已经被计算过。
*/ int main()
{while(~scanf("%d",&n))   {int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]);}memset(d,-1,sizeof(d));   //状态记忆化数组初始化                printf("max:%d\n",distance(1,1));                         }return 0;
}

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