HDU5765 Bonds (高维前缀和)

题意：\(n(n<=20)\)个点\(m\)条边无向图，求每条边出现在多少个\(Bond\)里。一个图的\(cut\)指，对于一个图\(G\)的边集的某个子集\(E\)，如果删除\(E\)中的所有边，原图不连通。一个图的\(Bond\)指，对于一个图\(G\)，\(cut\)恰好使得图不连通的边集\(E\)，即原图去除\(E\)后，形成两个连通图。

做法：首先，考虑如何求出所有的\(Bond\)。显然可以\(2^{20}\)枚举出点集\(A\)，然后如果\(A\)和它的补集\(B\)，分别都是联通的，那么他们之间的所有边构成一种合法的\(Bond\)。这里就需要预处理点集的联通形\(ok[s]\)。之后，考虑如何计算每条边出现在多少个\(Bond\)里，一种显然会\(TLE\)的方法是枚举所有的边和\(Bond\)，即\(O(m2^n)\)。考虑对于一条边\(u-v\)的答案，就是在所有合法的\(Bond\)中，\(u\)和\(v\)分别属于\(Bond\)的两边。也就等于，所有的\(Bond\)的数目，去掉\(u-v\)都在一个集合内的数目。我们用\(f[s]\)表示，包含点集\(s\)的所有合法的集合的数目，显然可以先\(f[合法点集]=1\)，然后做超集的高维前缀和，而\(f[(1<<u)|(1<<v)]\)就是包含\(u-v\)的合法集合的数目，用总的Bond数减去它就是该条边的答案。另外还有个坑点，一开始直接\(bfs\)这个图求\(ok[s]\)，就\(TLE\)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define pb push_back
#define Pii pair<int,int>
#define Ppi pair<Pii, int>
#define x first
#define y second
typedef long long ll;
const int N = 20;
inline void read(int &x) {x = 0; int f = 1; char c = getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();}x *= f;
}
using namespace std;
int n, m, LIM, u[444], v[444], f[1 << N | 5], G[N+3];
bool ok[1 << N | 5];
void init_ok() {for(int i = 0; i < n; ++i) ok[1<<i] = 1;for(int s = 0; s < (1<<n); ++s) {if(!ok[s]) continue;for(int i = 0; i < n; ++i) if( !(s&(1<<i)) && (s&G[i]) ) ok[s|(1<<i)] = 1;}
}
int main() {int T_T, KK = 0; read(T_T);while(T_T--) {read(n), read(m);LIM = (1<<n)-1;memset(G,0,sizeof(G));memset(ok,0,sizeof(ok)); memset(f,0,sizeof(f));for(int i = 0; i < m; ++i) {read(u[i]), read(v[i]);G[u[i]] |= (1<<v[i]);G[v[i]] |= (1<<u[i]);}init_ok();int ans = 0;for(int s = 0; s <= LIM-s; ++s)  if(ok[s] && ok[LIM-s]) {++ ans; f[s] = f[LIM-s] = 1;}for(int j = 0; j < n; ++j) for(int i = 0; i <= LIM; ++i) if(!(i & (1 << j))) f[i] += f[i|(1<<j)];printf("Case #%d:",++KK);for(int tmp, i = 0; i < m; ++i) {printf(" %d", ans - f[(1<<u[i])|(1<<v[i])]);} putchar('\n');}
}

高维前缀和模板

超集

for(int j = 0; j < n; ++j) for(int i = 0; i < (1 << n); ++i) if(!(i & (1 << j))) f[i] += f[i|(1<<j)];

子集

for(int j = 0; j < n; ++j)for(int i = 0; i< (1 << n); ++i)if(i & (1 << j)) f[i] += f[i^(1<<j)];