R语言与虚拟变量模型

学习笔记
参考书籍：《计量经济学》-李子奈；《统计学：从数据到结论》-吴喜之；

虚拟变量模型

许多变量是可以定量度量的，如需求量、价格等，但也有一些因素无法定量度量，如职业、性别。为了能够在模型中反映这些因素的影响，并提高模型的精度，需要将它们’量化’，这种’量化’通常是通过引入虚拟变量来完成的。根据这些因素的属性类型，构造取’0’或’1’的人工变量。通常称为虚拟变量，记为D。

例如：反映性别的虚拟变量可取为：
D={1,man0,womanD=\begin{cases}1, man \\0, woman\end{cases} D={1,man0,woman
一般地，在虚拟变量的设置中，基础类型和肯定类型取值为1; 比较类型和否定类型取值为0。同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟变量模型。

加法模型

若我们以员工薪金YYY作为因变量，工龄XXX作为一般解释变量,性别DDD作为虚拟变量构造虚拟变量模型，则在模型中可以将虚拟变量DDD以相加的形式引入模型，则该加法模型为：
Yi=β0+β1Xi+β2D+μiY_i=\beta_0+\beta_1 X_i + \beta_2D +\mu_i Yi=β0+β1Xi+β2D+μi

乘法模型

若在模型中将虚拟变量DDD以相乘的形式引入模型，则该乘法模型为：
Yi=β0+β1Xi+β2DXi+μiY_i=\beta_0+\beta_1 X_i + \beta_2D X_i +\mu_i Yi=β0+β1Xi+β2DXi+μi

混合模型(自己起的名字)

我们也可以将虚拟变量DDD同时以相加和相乘的形式引入模型：

Yi=β0+β1Xi+β2D+β3DXi+μiY_i=\beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 D + \beta_3 D X_i +\mu_i Yi=β0+β1Xi+β2D+β3DXi+μi

R语言实现

在个例子中，我们模拟一系列数据，再用虚拟变量模型去拟合。

模拟数据：

set.seed(1234)
x <- c(-19:20)
y1 <- 2*x + rnorm(40, 0, 2)
y2 <- -x +rnorm(40, 3, 2)df1 <- data.frame(x = x, y = y1, c = rep('A', 40))
df2 <- data.frame(x = x, y = y2, c = rep('B', 40))
df <- rbind(df1, df2)plot(df$x, df$y, col = df$c, main = "散点图", xlab = 'x', ylab = 'y')

图像：

回归：

lm01 <- lm(y ~ x*c, data = df)
summary(lm01)

控制台输出：

Call:
lm(formula = y ~ x * c, data = df)Residuals:Min      1Q  Median      3Q     Max
-4.3410 -1.2588 -0.3353  0.8964  5.6449 Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.81327    0.31223  -2.605   0.0111 *
x            1.97107    0.02702  72.941  < 2e-16 ***
cB           3.63159    0.44156   8.225 4.09e-12 ***
x:cB        -2.92208    0.03822 -76.462  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 1.973 on 76 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9886,    Adjusted R-squared:  0.9881
F-statistic:  2194 on 3 and 76 DF,  p-value: < 2.2e-16

此时，各个回归系数均通过显著性检验，则被估计的虚拟变量模型为：
Yi^=−0.81+1.97Xi+3.63D−2.92DXi\hat{Y_i}=-0.81 + 1.97 X_i + 3.63 D -2.92 D X_i Yi^=−0.81+1.97Xi+3.63D−2.92DXi
注意！此时的虚拟变量DDD取为：
D={1,B0,AD=\begin{cases}1, B \\0, A\end{cases} D={1,B0,A