拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现

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第2 1卷第 3期

20 0 8年 6月

四川理工学院学报 (自然科学版 )

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V 1 1N . o. o3 2

J n2 0 u. 8 0

S I N E& E G N E N NA U AL S I N E E I I N1 CE C N I E RI G( T R C E C D T O

文章编号： 6 3 1 4 2 0 ) 3 0 0— 2 1 7— 5 9( 0 8 0— 0 1 0

拉普拉斯方程有限差分法的 M T A A L B实现

谢焕田，艳吴

(临沂师范学院数学系，东临沂 2 6 0 )山 70 5

摘

要：文章基于区域转化的思想，通过 MTA编程实现了四分之一圆域上拉普拉斯方程的有限差分方法， ALB

数值实验表明了方法的可行性和正确性。

关键词：拉普拉斯方程；限差分；a lb有 M t a

中图分类号：0 4 . 212 8文献标识码：A

众所周知，拉普拉斯方程

上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。参照文献【,出有 1给】限差分法数值计算的基本步骤： () 1区域的离散或子区域的划分。 ()值函数的选择。 2插 () 3方程组的建立。 ()程组的求解。 4方

告+。等一

是最简单的椭圆型偏微分方程之一，定解问题的数值其

解法主要有有限元法和有限差分法等，统上人们认为传

有限元法擅长计算复杂区域上椭圆型偏微分方程的定

解问题但有限元法计算步骤较为复杂和抽象，功能强大的成熟软件 MA L B弥补了这一缺点但其中的 P E工 TA D具箱仅能计算边界条件为常数的边值问题，于以上情鉴

况，文考虑如下边值问题本

u

2问题的转化

首先，不规则求解区域力转换为规则区域，将令：

roO=s O cs, r n,则直角坐标系下的四分之一单位圆域力 y i () 1

就转化为如下的带状区域

厂= (,) r 1 {r 1 , 0 0 7}

+

o y

= 0

x )力，∈ Y

f,,∈ 0 力且 x O =

“,= 5,∈,{,力且 yO . =

I6S 0 5, x 2x x 1 -+ ∈力且 xy l+=

其中 {, l+ yx 1 x 0>}

),>, Oo且 y

( 2 )

其次， x roO=s O入方程 ()行化简，将=cs, r n带 y i 1进此

时拉普拉斯方程形如

1 8

一

首先利用区域转化的思想通过极坐标对求解区域进行转化，进而通过 M T A A L B编程实现了上述边值问 题的极坐标下的有限差分方法，数值实验结果表明了此

方法的可行性和正确性。

_+ 1 ( _ r ) 0

( 3 )

3问题的分析

按照有限差分法的求解步骤，首先将带状区域 fr ) r 1

h和 h。令，

1有限差分法的介绍

有限差分法是解偏微分方程的主要数值方法之一， 其基本思想是把连续问题离散化，即首先对求解区域作网格剖分，有限个网格节点代替连续区域；次将微用其

r ( O ), 01, ir .h i,2…,=+ 5,=,=+ ), O1 -J 1 o2/ 1口=, -,,=zJ^ j,-- h r

利用中心差商公式得到逼近方程 (1 3的差分方程[ 2 1

一

分算子离散化，从而把微分方程的定解问题化为代数方程组的求解问题，解方程组就可以得到原问题在离散点

一【 r

h

峙一

J】 - . v 0

有了以上格式就可以得到代数方程组进行求解。

收稿日期：20 .— 080 0 34基金项目：国家自然科学基金( 6 18 ) 1 706 0

作者简介：谢焕田 (9 2)男， 18一，山东临沂人，硕士，主要从事偏微分方程数值解方面的研究。

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