【dp-背包】背包问题九讲
第一讲 01背包问题
第二讲 完全背包问题
第三讲 多重背包问题
第四讲 混合三种背包问题
第五讲 二维费用的背包问题
第六讲 分组的背包问题
第七讲 有依赖的背包问题
第八讲 泛化物品
第九讲 背包问题问法的变化
附:USACO中的背包问题
前言
本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分,这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结,名为《解动态规划题的基本思考方式》。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解,又在某种程度上能够揭示动态规划的本质,故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题,我也将它放在我的写作计划的第一部分。
读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长,思路也偶有跳跃的地方,后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是:不大量思考,绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。
你现在看到的是本文的1.0正式版。我会长期维护这份文本,把大家的意见和建议融入其中,也会不断加入我在OI学习以及将来可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。但目前本文还没有一个固定的发布页面,想了解本文是否有更新版本发布,可以在OIBH论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子,每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。
目录
给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表,及简单的解答。
联系方式
如果有任何意见和建议,特别是文章的错误和不足,或者希望为文章添加新的材料,可以通过http://kontactr.com/user/tianyi/这个网页联系我。
致谢
感谢以下名单:
阿坦
jason911
donglixp
他们每人都最先指出了本文第一个beta版中的某个并非无关紧要的错误。谢谢你们如此仔细地阅读拙作并弥补我的疏漏。
感谢 XiaQ,它针对本文的第一个beta版发表了用词严厉的六条建议,虽然我只认同并采纳了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时,你的贴子是我的一剂清醒剂,让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。
当然,还有用各种方式对我表示鼓励和支持的几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬,或是在论坛上回复我的贴子,不管是发来热情洋溢的邮件,或是在即时聊天的窗口里竖起大拇指,你们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力,也鞭策着我不断提高自身水平,谢谢你们!
最后,感谢 Emacs 这一世界最强大的编辑器的所有贡献者,感谢它的插件 EmacsMuse 的开发者们,本文的所有编辑工作都借助这两个卓越的自由软件完成。谢谢你们——自由软件社群——为社会提供了如此有生产力的工具。我深深钦佩你们身上体现出的自由软件的精神,没有你们的感召,我不能完成本文。在你们的影响下,采用自由文档的方式发布本文档,也是我对自由社会事业的微薄努力。
P01: 01背包问题
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。{!背过}
我们看一下原来的方程f[i][v]=max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]} |
不一定从1开始,那样会浪费 |
过程ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。
有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:
for i=1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
小结
01背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。
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P02: 完全背包问题
题目
有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
基本思路
这个问题非常类似于01背包问题 ,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路,令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程,像这样:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解,但求解每个状态的时间已经不是常数了,求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i]),总的复杂度是超过O(VN)的。
将01背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。
一个简单有效的优化
完全背包问题有一个很简单有效的优化,是这样的:若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j],则将物品j去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然:任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i,得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据,这个方法往往会大大减少物品的件数,从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度,因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。
这个优化可以简单的O(N^2)地实现,一般都可以承受。另外,针对背包问题而言,比较不错的一种方法是:[显然]首先将费用大于V的物品去掉,然后使用类似计数排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了,希望你能独立思考写出伪代码或程序。
转化为01背包问题求解
既然01背包问题是最基本的背包问题,那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是,考虑到第i种物品最多选V/c[i]件,于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品,然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度,但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路:将一种物品拆成多件物品(有点像多重背包了)。
更高效的转化方法是:把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品,其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想(!!!),因为不管最优策略选几件第i种物品,总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样比把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品,是一个很大的改进。
但我们有更优的O(VN)的算法。
O(VN)的算法
这个算法使用一维数组,先看伪代码:
for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
你会发现,这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]],所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。(详见链接here)
这个算法也可以以另外的思路得出。例如,基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}
将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码,以后会用到:
procedure CompletePack(cost,weight)
for v=cost..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
总结
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题,它有两个状态转移方程,分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会,不仅记住,也要弄明白它们是怎么得出来的,最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上,对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来,是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解:把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品,则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题,直接求解,复杂度仍然是O(V*Σn[i])。
这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品,将原问题转化为了复杂度为O(V*Σlog n[i])的01背包问题,是很大的改进。
下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程,其中amount表示物品的数量:
procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)
希望你仔细体会这个伪代码,如果不太理解的话,不妨翻译成程序代码以后,单步执行几次,或者头脑加纸笔模拟一下,就会慢慢理解了。
如果将P01、P02、P03混合起来。也就是说,有的物品只可以取一次(01背包),有的物品可以取无限次(完全背包),有的物品可以取的次数有一个上限(多重背包)。应该怎么求解呢?
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
混血儿的优势 |
if 第i件物品是01背包
ZeroOnePack(c[i],w[i])
else if 第i件物品是完全背包
CompletePack(c[i],w[i])
else if 第i件物品是多重背包
MultiplePack(c[i],w[i],n[i])
在最初写出这三个过程的时候,可能完全没有想到它们会在这里混合应用。我想这体现了编程中抽象的威力。如果你一直就是以这种“抽象出过程”的方式写每一类背包问题的,也非常清楚它们的实现中细微的不同,那么在遇到混合三种背包问题的题目时,一定能很快想到上面简洁的解法,对吗?
小结
有人说,困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论,但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来01背包、完全背包、多重背包都不是什么难题,但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实,领会三种基本背包问题的思想,就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。
给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表,及简单的解答。
P05: 二维费用的背包问题
问题
二维费用的背包问题是指:对于每件物品,具有两种不同的费用;选择这件物品必须同时付出这两种代价;对于每种代价都有一个可付出的最大值(背包容量)。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2,第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值(两种背包容量)分别为V和U。物品的价值为w[i]。
算法
费用加了一维,只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是:
f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}
如前述方法,可以只使用二维的数组:当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环,当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了,相信有了前面的基础,你能够自己实现出这个问题的程序。
物品总个数的限制
有时,“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的:最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用,每个物品的件数费用均为1,可以付出的最大件数费用为M。换句话说,设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值,则根据物品的类型(01、完全、多重)用不同的方法循环更新,最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。
小结
是不是可以用来解决多重背包的问题???只不过比多重背包复杂度高 |
当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时,在原来的状态中加一维以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。
这个问题变成了每组物品有若干种策略:是选择本组的某一件,还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值,则有:
f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k组}
注意这里的三层循环的顺序,甚至在本文的beta版中我自己都写错了。“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。
另外,显然可以对每组内的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。
分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组,这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题(例如P07),由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念,十分有利于解题。
更一般的问题是:依赖关系以图论中“森林”的形式给出(森林即多叉树的集合),也就是说,主件的附件仍然可以具有自己的附件集合,限制只是每个物品最多只依赖于一个物品(只有一个主件)且不出现循环依赖。
考虑这样一种物品,它并没有固定的费用和价值,而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。
更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中,泛化物品是一个定义域为0..V中的整数的函数h,当分配给它的费用为v时,能得到的价值就是h(v)。
这个定义有一点点抽象,另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0..V],给它费用v,可得到价值h[V]。{fuck!这不一样啊!}
综上所述,一般而言,求解背包问题,即求解这个问题所对应的一个函数,即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。
我想说:“思考”是一个OIer最重要的品质。简单的问题,深入思考以后,也能发现更多。
例如,求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值(f数组)之后得到。
很多都是这样的 |
还有,如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”,只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。
下面说一些变化更大的问法。
输出方案
一般而言,背包问题是要求一个最优值,如果要求输出这个最优值的方案,可以参照一般动态规划问题输出方案的方法:记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的,换句话说,记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态,从上一个状态接着向前推即可。
还是以01背包为例,方程为f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。再用一个数组g[i][v],设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项(也即f[i][v]=f[i-1][v]),g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略:未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写(设最终状态为f[N][V]):
i=N
v=V
while(i>0)
if(g[i][v]==0)
print "未选第i项物品"
else if(g[i][v]==1)
print "选了第i项物品"
v=v-c[i]
另外,采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据f[i][v]的值实时地求出来,也即不须纪录g数组,将上述代码中的g[i][v]==0改成f[i][v]==f[i-1][v],g[i][v]==1改成f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i]也可。
输出字典序最小的最优方案
这里“字典序最小”的意思是1..N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出01背包最小字典序的方案为例。
一般而言,求一个字典序最小的最优方案,只需要在转移时注意策略。首先,子问题的定义要略改一些。我们注意到,如果存在一个选了物品1的最优方案,那么答案一定包含物品1,原问题转化为一个背包容量为v-c[1],物品为2..N的子问题。反之,如果答案不包含物品1,则转化成背包容量仍为V,物品为2..N的子问题。不管答案怎样,子问题的物品都是以i..N而非前所述的1..i的形式来定义的,所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下,以下按物品已被逆序排列来叙述。
在这种情况下,可以按照前面经典的状态转移方程来求值,只是输出方案的时候要注意:从N到1输入时,如果f[i][v]==f[i-v]及f[i][v]==f[i-1][f-c[i]]+w[i]同时成立,应该按照后者(即选择了物品i)来输出方案。{取I与不取I相比,取的话一定在字典前}
求方案总数
对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系(分组、依赖等)的背包问题,除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外,还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。
对于这类改变问法的问题,一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是完全背包中的物品,转移方程即为
f[i][v]=sum{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]}
初始条件f[0][0]=1。
事实上,这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。
最优方案的总数
这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。以01背包为例。
结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路,最优方案的总数可以这样求:f[i][v]意义同前述,g[i][v]表示这个子问题的最优方案的总数,则在求f[i][v]的同时求g[i][v]的伪代码如下:
for i=1..N
for v=0..V
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
g[i][v]=0
if(f[i][v]==f[i-1][v])
inc(g[i][v],g[i-1][v])
if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])
inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])
如果你是第一次看到这样的问题,请仔细体会上面的伪代码。
求次优解、第K优解
对于求次优解、第K优解类的问题,如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决,那么求次优解往往可以相同的复杂度解决,第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。
其基本思想是将每个状态都表示成有序队列,将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。
首先看01背包求最优解的状态转移方程:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解,那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为v时,第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句,熟悉C语言的同学可能比较好理解,或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的,所以我们把它认为是一个有序队列。
然后原方程就可以解释为:f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K],f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]][1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果(的前K项)储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(NVK)。
为什么这个方法正确呢?实际上,一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略,也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解,所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组,并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么,对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。
另外还要注意题目对于“第K优解”的定义,将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者,则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。
小结
显 然,这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域(例如数论、图论)结合起来的问题,在这篇论背包问题的 专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程,遇到其它的变形问法,只要题目难度还属于NOIP,应该也不难想出算法。触类旁通、举一反三,应该也是一个OIer应有的品质吧。
《背包问题九讲》的本意是将背包问题作为动态规划问题中的一类进行讲解。但鉴于的确有一些背包问题只能用搜索来解,所以这里也对用搜索解背包问题做简单介绍。大部分以01背包为例,其它的应该可以触类旁通。
对于01背包问题,简单的深搜的复杂度是O(2^N)。就是枚举出所有2^N种将物品放入背包的方案,然后找最优解。基本框架如下:
procedure SearchPack(i,cur_v,cur_w)
SearchPack(i+1,cur_v+v[i],cur_w+w[i])
其中cur_v和cur_w表示当前解的费用和权值。主程序中调用SearchPack(1,0,0)即可。
可行性剪枝即判断按照当前的搜索路径搜下去能否找到一个可行解,例如:若将剩下所有物品都放入背包仍然无法将背包充满(设题目要求必须将背包充满),则剪枝。
最优性剪枝即判断按照当前的搜索路径搜下去能否找到一个最优解,例如:若加上剩下所有物品的权值也无法得到比当前得到的最优解更优的解,则剪枝。
另一方面,若将费用较大的物品排列在前面,可以较快地填满背包,有利于可行性剪枝。
最后一种可以考虑的方案是:在开始搜索前将输入文件中给定的物品的顺序随机打乱。这样可以避免命题人故意设置的陷阱。
以上三种决定搜索顺序的方法很难说哪种更好,事实上每种方法都有适用的题目和数据,也有可能将它们在某种程度上混合使用。
子集和问题是一个NP-Complete问题,与前述的(加权的)01背包问题并不相同。给定一个整数的集合S和一个整数X,问是否存在S的一个子集满足其中所有元素的和为X。
这个问题有一个时间复杂度为O(2^(N/2))的较高效的搜索算法,其中N是集合S的大小。
第一步思想是二分。将集合S划分成两个子集S1和S2,它们的大小都是N/2。对于S1和S2,分别枚举出它们所有的2^(N/2)个子集和,保存到某种支持查找的数据结构中,例如hash set。
然后就要将两部分结果合并,寻找是否有和为X的S的子集。事实上,对于S1的某个和为X1的子集,只需寻找S2是否有和为X-X1的子集。
假设采用的hash set是理想的,每次查找和插入都仅花费O(1)的时间。两步的时间复杂度显然都是O(2^(N/2))。
实践中,往往可以先将第一步得到的两组子集和分别排序,然后再用两个指针扫描的方法查找是否有满足要求的子集和。这样的实现,在可接受的时间内可以解决的最大规模约为N=42。
另外,当想不出合适的动态规划算法时,就只能用搜索了。例如看到一个从未见过的背包中物品的限制条件,无法想出DP的方程,只好写搜索以谋求一定的分数了。
USACO是USA Computing Olympiad的简称,它组织了很多面向全球的计算机竞赛活动。
另外,USACO Contest是USACO常年组织的面向全球的竞赛系列,在此也推荐NOIP选手参加。
我整理了USACO Training中涉及背包问题的题目,应该可以作为不错的习题。其中标加号的是我比较推荐的,标叹号的是我认为对NOIP选手比较有挑战性的。
Milk4 (!) (很怪的背包问题问法,较难用纯DP求解)
以下文字来自我所撰的《USACO心得》一文,该文的完整版本,包括我的程序,可在DD的USACO征程中找到。
Money 是多重背包问题。也就是每个物品可以使用无限多次。要求解的是构成一种背包的不同方案总数。基本上就是把一般的多重背包的方程中的min 改成sum 就行了。
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作者:Dong | 可以转载, 但必须以超链接形式标明文章原始出处和作者信息及版权声明
网址:http://dongxicheng.org/structure/knapsack-problems/1. 背包问题介绍
背包问题不单单是一个简单的算法问题,它本质上代表了一大类问题,这类问题实际上是01线性规划问题,其约束条件和目标函数如下:
自从dd_engi在2007年推出《背包问题九讲》之后,背包问题的主要精髓基本已道尽。本文没有尝试对背包问题的本质进行扩展或深入挖掘,而只是从有限的理解(这里指对《背包问题九讲》的理解)出发,帮助读者更快地学习《背包问题九讲》中的提到的各种背包问题的主要算法思想,并通过实例解释了相应的算法,同时给出了几个背包问题的经典应用。2. 背包问题及应用
dd_engi在《背包问题九讲》中主要提到四种背包问题,分别为:01背包问题,完全背包问题,多重背包问题,二维费用背包问题。本节总结了这几种背包问题,并给出了其典型的应用以帮助读者理解这几种问题的本质。
2.1 01背包问题
(1)问题描述
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
(2)状态转移方程
其中,f(i,v) 表示从前i件物品选择若干物品装到容量为v的背包中产生的最大价值。当v=0时,f(i,v)初始化为0,表示题目不要求背包一定刚好装满,而f(i,v)=inf/-inf(正无穷或负无穷)表示题目要求背包一定要刚好装满。下面几种背包类似,以后不再赘述。
(3) 伪代码
从转移方程上可以看出,前i个物品的最优解只依赖于前i-1个物品最优解,而与前i-2,i-3,…各物品最优无直接关系,可以利用这个特点优化存储空间,即只申请一个一维数组即可,算法时间复杂度(O(VN))为:
12345for
i=1..N
for
v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
注意v的遍历顺序!!!
下面几种背包用到类似优化,以后不再赘述。
(4) 举例
V=10,N=3,c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
(1)背包不一定装满
计算顺序是:从右往左,自上而下:
(2)背包刚好装满
计算顺序是:从右往左,自上而下。注意初始值,其中-inf表示负无穷
(5) 经典题型
[1] 你有一堆石头质量分别为W1,W2,W3…WN.(W<=100000,N <30)现在需要你将石头合并为两堆,使两堆质量的差为最小。
[2] 给一个整数的集合,要把它分成两个集合,要两个集合的数的和最接近
[3] 有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0小于n≤30),每个物品有一个体积(正整数)。要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
2.2 完全背包问题
(1)问题描述
有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
(2)状态转移方程
或者:
(3) 伪代码
12345for
i=1..N
for
v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
注意v的遍历顺序!!!
注意,时间复杂度仍为:O(VN).
(4) 举例
V=10,N=3,c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
(1)背包不一定装满
计算顺序是:从左往右,自上而下:
(2)背包刚好装满
计算顺序是:从左往右,自上而下。注意初始值,其中-inf表示负无穷
(5) 经典题型
[1] 找零钱问题:有n种面额的硬币,每种硬币无限多,至少用多少枚硬币表示给定的面值M?
2.3 多重背包问题
(1)问题描述
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
(2)状态转移方程
(3) 解题思想
用以下方法转化为普通01背包问题:将第i种物品分成若干件物品,其中每件物品有一个系数,这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1,且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如,如果n[i]为13,就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。这种方法能保证对于0..n[i]间的每一个整数,均可以用若干个系数的和表示。这个很容易证明,证明过程中用到以下定理:任何一个整数n均可以表示成:n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^k,其中ak=0或者1(实际上就是n的二进制分解),
定理:一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1(k是满足n-2^k+1>0的最大整数)的形式,且1~n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。
该定理的证明如下:
(1) 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n,所以若干元素的和的范围为:[1, n];
(2)如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示,这个很容易证明:我们把t的二进制表示写出来,很明显,t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^(k-1),其中ak=0或者1,表示t的第ak位二进制数为0或者1.
(3)如果t>=2^k,设s=n-2^k+1,则t-s<=2^k-1,因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式,进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1),s中某几个数的和(加数中一定含有s)的形式。
(证毕!)
该算法的时间复杂度为:O(V*sum(logn[i])).
(4) 经典题型
[1] 找零钱问题:有n种面额的硬币,分别为a[0], a[1],…, a[n-1],每种硬币的个数为b[0], b[1],…, b[n-1],至少用多少枚硬币表示给定的面值M?
2.4 二维费用背包
(1) 问题描述
二维费用的背包问题是指:对于每件物品,具有两种不同的费用;选择这件物品必须同时付出这两种代价;对于每种代价都有一个可付出的最大值(背包容量)。问 怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2,第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值(两种 背包容量)分别为V和U。物品的价值为w[i]。
(2) 状态转移方程
(3) 算法思想
采用同一维情况类似的方法求解
(4) 经典题型
有2n个整数,平均分成两组,每组n个数,使这两组数的和最接近。
3. 背包总结
背包问题实际上代表的是线性规划问题,一般要考虑以下几个因素已决定选取什么样的算法:
(1) 约束条件,有一个还是两个或者更多个,如果是一个,可能是01背包,完全背包或者多重背包问题,如果有两个约束条件,则可能是二维背包问题。
(2) 优化目标,求最大值,还是最小值,还是总数(只需将max换成sum)
(3) 每种物品的个数限制,如果每种物品只有一个,只是简单的01背包问题,如果个数无限制,则是完全背包问题,如果每种物品的个数有限制,则是多重背包问题。
(4) 背包是否要求刚好塞满,注意不塞满和塞满两种情况下初始值不同。
4. 参考资料
dd_engi:《背包问题九讲》,available:http://www.oiers.cn/pack/Index.html
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更多关于数据结构和算法的介绍,请查看:数据结构与算法汇总
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