第二讲 离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析

2.1离散时间函数与Z变换

目的要求：通过本节的学习使学生掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使用Z变换的性质解决问题，掌握差分方程及离散时间系统的运动分析方法。

教学内容：

我们经常会遇到利用离散时间函数表示的差分方程或差分方程组，这在经济管理中经常遇到。现介绍离散时间函数，差分方程后面介绍。

一、离散时间函数

例1 人口离散时间函数

设全国人口普查每年进行一次。每年的7月1日凌晨零点的人口数代表该年的人口数。我们以t=0 代表1990年7月1日凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表示1991年、1992年、1993年等各年度7月1日凌晨零点。各年度普查的实际人口数如下表所示

中国实际人口数据(亿人)

T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7…时间1990.7.11991.7.11992.7.11993.7.11994.7.11995.7.11996.7.11997.7.1……人口数11.433311.582311.717111.851711.985012.112112.238912.3626…… 我们用x(t)表示在t年中国人口数，由此可知：

x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171,

x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121,

x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,……

由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数

例2 国民生产总值GNP(gross national product)离散时间函数。

表为中国GNP年度数值(亿元)

T=0T=1T=2T=3T=4……时间19931994199519961997……GNP34560.546670.057494.966850.573452.5……则，GNP(t)表示第t年的GNP数值。

GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,……

例3 企业月产量离散时间函数。

表为电视机工厂生产月报表(万台)

T=0T=1T=2……时间1月份2月份3月份……产量Y(t)1.521.8……则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,……

可以看出， 经济管理实践中基本上采用离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。其自变量为离散时间。

二、Z变换及其逆变换

导言：Z变换是怎么发明出来的？

牛顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分方程及方程组。在求解方程时总结经验，简化计算，如用符号s表示微分运算s=d/dt,即s·f(t)=df(t)/dt。称s为‘微分算子’。后来，拉普拉斯总结出－拉氏变换，这一理论，即 来求解微分方程。相应的，f(t)的微分的拉氏变换为：。

由于常系数的差分方程与微分方程的解有许多相似之处，那么希望与连续时间函数类似的应该有相应的变换存在，因此，与拉氏变换一样，发明了Z变换。所以，Z变换也是为了简化差分方程而发明出来的。(但它没有拉氏变换那么有名，因为不是‘原创’。)

关于数学的研究，具有原创的，有：杨乐，张广厚(复变函数)，陈景润(数论)70－80年代

1．定义 对离散时间函数x(t),t=0,1,2,……(t<0时不予考虑，或x(t)=0)；它的Z变换为：

x(z)= = x(0)+ x(1)z-1 + x(2)z-2 +… (*)

下面讨论一些常用的离散时间函数的Z变换。

例1 单位阶跃函数h(t)如图所示。

h(t)＝1。

则Z变换函数，h(z)＝1＋z-1 + z-2 + z-3 +…… (提问) (1)

zh(z)＝z+1＋z-1 + z-2 + z-3 +……

zh(z)= z+h(z)

? h(z)= . () (2)

称此函数为：海维赛得函数

(1)、(2)均为h(t)的Z变换。

注意：① h(z)= 是h(t)的Z变换，并不意味着h(t)=

② 在Z变换中，都使用h(·)形式，为了表示对应关系。

例2 单位脉冲函数 (敲一下的状态)

由定义：＝1 (提