【优化算法】混沌单纯形法算子布谷鸟搜索优化算法【含Matlab源码 1193期】

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二、布谷鸟算法简介

1 介绍
布谷鸟（杜鹃）是一种非常迷人的鸟类，它们不仅能发出各种声音或叫声，还能以不同的方式繁殖。杜鹃科中的犀鹃（Ani Cuckoo）和圭拉鹃（Guira Cuckoo），将它们的蛋放在其他鸟的巢中，从此杜鹃鸟的蛋完全依赖于寄主鸟的照料，这就是巢寄生。

如果寄主鸟发现蛋不是它们的，要么把蛋扔掉，要么放弃巢穴，然后寄主鸟再建一个新的巢穴。为了防止这种情况的发生，雌性布谷鸟已经进化到可以模拟寄主蛋的颜色和纹理，从而降低被遗弃的可能性。同时蛋也会分布在不同的巢中，以减少蛋丢失的机会。如果布谷鸟的蛋没有被识别出来，它通常会在寄主鸟蛋之前孵化，并把其他的蛋从巢中踢出去，这样就能分得更多的食物，甚至有些布谷鸟雏鸟也能模仿寄主雏鸟的叫声。

巢寄生的一个好处是，父母不需要投资筑巢或喂养幼鸟。他们可以花更多的时间在捕食和繁殖上。随着时间的推移，自然选择使寄主鸟和布谷鸟都进化了，使得每一代中最适合的鸟存活下来。布谷鸟的这种繁殖行为是协同进化的最佳模型之一，也是最近发展的优化技术，即布谷鸟搜索的基础。

2 人工布谷鸟搜索
布谷鸟搜索受布谷鸟的巢寄生行为和一些鸟类和果蝇的莱维（Lévy Flight）行为的启发，是由Xin-She Yang和Suash Deb (2009)[2]提出的一种新型的基于群体的优化技术。

布谷鸟算法源于以下三条规则[3]：
每只布谷鸟每次产下一枚蛋，并将其放入随机选择的巢中；
具有优质蛋的最佳巢会被进入到下一代；
可用的寄主巢数量是固定的，且寄主以概率pa∈(0,1)发现布谷鸟放的蛋。在这种情况下，寄主可以消灭该蛋或放弃旧巢另建新巢。
在进一步研究算法之前，先讨论一些数学术语和函数。

2.1 随机变量
任何随机现象的输出都是随机变量，并用X表示。如果一个随机变量只取不同的值，比如1,2，那么它就是离散的；如果它可以在一个区间内取任意值，那它就是连续的。这些通常用曲线下的面积或积分表示。随机变量X在一组结果A上的概率，就是A上和曲线下之间的面积，这条曲线下的总面积必须是1，对于集合A中的任何元素都不应该有负值。这样的曲线称为密度曲线。

2.2 随机游走
随机游走（记为SN）是一系列随机步的和，每一步都由一个随机变量Xi表达：

随机游走的长度可以是固定的，也可以是可变的(取决于步长)。

2.2.1 幂律
当一个量相对变化时会导致两一个量成比例的相对变化时，需要应用幂律（比例律），幂律分布的一般形式是：

其中X和Y是目标变量，α是律指数，k为常量。

2.3 赫维赛德函数（阶跃函数）
通常用H或θ表示，用于表达分段常数函数或广义函数。
作为分段函数时：

2.4 Lévy（莱维）分布
Lévy分布是非负随机变量的稳定连续概率分布，可以用以下简单的方式表达：

其中µ是最小步长，γ是尺度参数。

6.2.4.1 Lévy飞行
Lévy飞行是步长服从Lévy分布的随机游走，通过下式表达：

其中β是一个索引。

三、部分源代码

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% % % % % % CLSCS算法核心---% % % % % %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [ keepglobal] = Cuckoo_search( popsize,pa,xMin,xMax,iter_max,dim,fun )LB=xMin*ones(1,dim);UB=xMax*ones(1,dim);u=3;%混沌系数fitness=inf*ones(popsize,1); %初始化适应度值%随机的初始值for i=1:popsize,nest(i,:)=LB+(UB-LB).*rand(size(LB));end%得到当前最优解[fbest,bestnest,nest,fitness]=get_best_nest(nest,nest,fitness,fun);keepglobal(1)=fbest;fprintf('Run = %d Save_Nr_best = %e\n', 1, fbest);%%开始循环for i=2:iter_max%产生新的解（但保留当前最优的）new_nest=get_cuckoos(nest,bestnest,LB,UB,iter_max,i);%单纯形法--去除较差的鸟窝new_nest=dcxf(popsize,new_nest,fun);[f_min,best,nest,fitness]=get_best_nest(nest,new_nest,fitness,fun);%发现并随机选择new_nest=empty_nests(nest,LB,UB,pa,iter_max,i,fitness);%评价改解[f_min,best,nest,fitness]=get_best_nest(nest,new_nest,fitness,fun);% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %         %%对粒子群最优位置进行混沌优化y(1,:)=(best-xMin)/(xMax-xMin);% 将最优位置映射到Logistic方程的定义域[0,1]fitness_c(1)=func(y(1,:),fun); for t=1:popsize-1 %通过Logistic方程进行M次迭代，得到混沌序列for e=1:dimy(t+1,e)=u*y(t,e)*(1-y(t,e)); endy(t+1,:)=xMin+(xMax-xMin)*y(t+1,:);%将混沌序列逆射到原解空间fitness_c(t+1)=func(y(t+1,:),fun); %计算混沌变量可行解序列的适应度值end[ybestfitness ybestindex]=min(fitness_c);%寻找最优混沌可行解矢量if ybestfitness<f_minf_min=ybestfitness;best=y(ybestindex,:);endfunction [fit] = func(x, fun)
%benchmark functions% Developed by: Dr. Mahamed G.H. Omran (omran.m@gust.edu.kw) 12-May-2011
% Modified and improved by: Maurice Clerc (15-May-2011)% x is a D-dimensional vector representing the solution we want to evalaute
% fun is the indix of the function of interest
% fit is the fitness of x (i.e. fit = f(x))D = length(x);switch(fun)
%     case {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}, % CEC'05 functions% NOTE:% For these functions to work, you need to include the following% lines in your file:% global  initial_flag% initial_flag = 0;% In addition, vector x should be x(1,D) where D is the problem's% dimension
%         fit = benchmark_func(x, fun);case {1}, % Sphere functionfit = sum(x.^2);case {2}, % Rastriginfit = 10*D + sum(x.^2 - 10*cos(2.*pi.*x));case {3}, %Stepfit = sum(floor(x + 0.5).^2);case {4}, %Rosenbrockf = 0;for i = 1:1:D-1f = f + 100*((x(i+1) - x(i)^2)^2) + (1 - x(i))^2;endfit = f;case {5}, %Ackleyfit = -20*exp(-0.2*sqrt(sum(x.^2)/D)) - exp(sum(cos(2*pi .*x))/D) + 20 + exp(1);case {6}, %Griewanksum1 = 0;prod1 = 1;for i = 1:1:Dsum1 = sum1 + (x(i)^2/4000);prod1 = prod1*cos(x(i)/sqrt(i));endfit = sum1 - prod1 + 1;case {7}, %Salomonfit = -cos(2*pi*sqrt(sum(x.^2))) + 0.1*sqrt(sum(x.^2)) + 1;case {8}, %Quartic functionsum1 = 0;for i = 1:1:Dsum1 = sum1 + i*x(i)^4;endfit = sum1 + rand();case {9}, %Alpinesum1 = 0;for i=1:1:Dsum1 = sum1 + abs(x(i)*sin(x(i)) + 0.1*x(i));endfit = sum1;case {10}, %Six Hump Camel bsckfit = 4*x(1).^2 - 2.1*x(1).^4 + (1/3)*x(1).^6 + x(1)*x(2) - 4*x(2)^2 + 4*x(2).^4;case {11}, % Braninfit = (x(2)-(5.1/(4*pi^2))*x(1)^2+5*x(1)/pi-6)^2+10*(1-1/(8*pi))*cos(x(1))+10;case {12}, % Shubertsum0 = 0;sum1 = 0;for j=1:1:5sum0 = sum0 + j*cos((j+1)*x(1) + j);sum1 = sum1 + j*cos((j+1)*x(2) + j);endfit = sum0*sum1;case {13}, % Easomfit = -cos(x(1))*cos(x(2))*exp(-((x(1) - pi)^2 + (x(2) - pi)^2));case {14}, % Shekel function
% Matlab Code by A. Hedar (Nov. 23, 2005).
% The number of variables n = 4
% The parameter m should be adjusted m = 5,7,10.
% The default value of m = 10.
%
m = 10;
a = ones(10,4);
a(1,:) = 4.0*a(1,:);
a(2,:) = 1.0*a(2,:);
a(3,:) = 8.0*a(3,:);
a(4,:) = 6.0*a(4,:);
for j = 1:2;a(5,2*j-1) = 3.0; a(5,2*j) = 7.0; a(6,2*j-1) = 2.0; a(6,2*j) = 9.0; a(7,j)     = 5.0; a(7,j+2) = 3.0;a(8,2*j-1) = 8.0; a(8,2*j) = 1.0;a(9,2*j-1) = 6.0; a(9,2*j) = 2.0;a(10,2*j-1)= 7.0; a(10,2*j)= 3.6;
end
c(1) = 0.1; c(2) = 0.2; c(3) = 0.2; c(4) = 0.4; c(5) = 0.4;
c(6) = 0.6; c(7) = 0.3; c(8) = 0.7; c(9) = 0.5; c(10)= 0.5;
s = 0;
for j = 1:m;p = 0;for i = 1:4p = p+(x(i)-a(j,i))^2;ends = s+1/(p+c(j));
end
fit = -s;otherwise,error('No such function');fit = -1;
end% fit=abs(fit-opt_f);end

四、运行结果

五、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.