有限域:基本性质和特征

有限域的定义

有限域满足以下性质:有两种运算(+和×),在该集合上封闭这两种运算满足交换和结合律有单位元e有逆元a−1有乘法对加法的分配律a×(b+c)=a×b+a×c有限域满足以下性质:\\ 有两种运算(+和\times),在该集合上封闭\\ 这两种运算满足交换和结合律\\ 有单位元e\\ 有逆元a^{-1}\\ 有乘法对加法的分配律a\times(b+c)=a\times b+a\times c\\ 有限域满足以下性质:有两种运算(+和×),在该集合上封闭这两种运算满足交换和结合律有单位元e有逆元a−1有乘法对加法的分配律a×(b+c)=a×b+a×c

当元素个数有限时称有限域.
常见的无限域有Q,R,C\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}Q,R,C.

子域和扩域

如果FFF的子集F0F_0F0对加法,乘法封闭(至少有0,e),并具有域的其他性质(除了封闭,基本上都是对运算规则的要求,所以也谈不上,只是需要注意),则称F0F_0F0为子域.

几个比较典型的域的记法

Q[2]Q[\sqrt{2}]Q[2]
也就是{a+2b∣a,b∈Q}\{a+\sqrt 2 b|a,b\in\mathbb{Q}\}{a+2b∣a,b∈Q},加法和乘法是典型的加法和乘法.
R[−2]R[\sqrt{-2}]R[−2]
{a+−2b∣a,b∈R}\{a+\sqrt {-2}\ b|a,b\in\mathbb{R}\}{a+−2 b∣a,b∈R},成员实际上在虚数域上,等于{a+2bi∣a,b∈R}\{a+2b\ i|a,b\in\mathbb{R}\}{a+2b i∣a,b∈R}同样加法和乘法是典型的加法和乘法.
Zm\mathbb{Z}_mZm
{1,2,...,m−1}\{1,2,...,m-1\}{1,2,...,m−1},m为质数
m必须为质数:否则不能成域:逆元有问题

域的性质

∀a∈F,0×a=a×0=0\forall a\in\mathbb{F},0\times a=a\times 0=0∀a∈F,0×a=a×0=0
∀a,b∈F,ifab=0,a=0orb=0\forall a,b\in\mathbb{F},if\ ab=0,a=0\ or\ b=0∀a,b∈F,if ab=0,a=0 or b=0
上面两个应该很明显.
但是要注意基于域的定义,a×ba\times ba×b不一定等同于b个a相加.这一点要尤为注意.

映射和同构

映射就是一个域到另一个域的一一对应关系.类似于一元函数.

同构

F,k为两个域,if∃Mappingδ,∀elementa,b∈F,有δ(a+b)=δ(a)+δ(b)δ(a×b)=δ(a)×δ(b)称δ(x)是F,k上的同构映射,且F,k同构.\mathbb{F},\mathbb{k}为两个域,\\if \exists Mapping \delta,\forall element\ a,b\in\mathbb{F},有\\ \delta(a+b)=\delta(a)+\delta(b)\\ \delta(a\times b)=\delta(a)\times \delta(b)\\ 称\delta (x)是\mathbb{F},\mathbb{k}上的同构映射,且\mathbb{F},\mathbb{k}同构.\\ F,k为两个域,if∃Mappingδ,∀element a,b∈F,有δ(a+b)=δ(a)+δ(b)δ(a×b)=δ(a)×δ(b)称δ(x)是F,k上的同构映射,且F,k同构.
同构建立了两个域之间的联系,同构的域在某些性质上有相似的特征.

域的特征

定义

if∃a,使得∀x∈F,有ax=0则称域F的特征为a,记作char{F}=a.如果不存在,则特征为0.if\ \exists a,使得\forall x\in\mathbb{F},有ax=0\\ 则称域\mathbb{F}的特征为a,记作char\{\mathbb{F}\}=a.\\ 如果不存在,则特征为0. if ∃a,使得∀x∈F,有ax=0则称域F的特征为a,记作char{F}=a.如果不存在,则特征为0.
注意:这里的ax=0ax=0ax=0是指a个x相加,不是a×x=0a\times x=0a×x=0!!

性质

一个域的特征不是0,就是素数.一个域的特征不是0,就是素数. 一个域的特征不是0,就是素数.
下面简单解释:
假设a=char{F}a=char\{\mathbb{F}\}a=char{F}不是素数
则对于其性质am=0am=0am=0,
对于分解因式a=i×ja=i\times ja=i×j,
有(i×j)m=0(i\times j)m=0(i×j)m=0.
又对于零元0,有性质
(i×j)m=0 ⟺ im=0(i\times j)m=0\iff im=0(i×j)m=0⟺im=0
所以∃iorj≤a,im=0,jm=0\exists i\ or\ j \leq a,im=0,jm=0∃i or j≤a,im=0,jm=0
不成立.
所以特征不是0就是一个质数.

(a±b)pn=apn+bpn,char{F}=p.(a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n},char\{\mathbb{F}\}=p. (a±b)pn=apn+bpn,char{F}=p.
这是有限域内的二项式定理.
对此简单的做一点解释:
由二项式定理,除去首位两项外其他的项都有:
Cpni=(pn)!i!⋅(pn−i)!C_{p^n}^i=\frac{(p^n)!}{i!\cdot (p^n-i)!}Cpni=i!⋅(pn−i)!(pn)!
所以无论如何分子都会有一个pnp^npn(除非i=0,就是首尾两项),则明显地
p∣Cpnip|C_{p^n}^ip∣Cpni.
又中间项有a,b,由
pa=0,pb=0pa=0,pb=0pa=0,pb=0,
中间项消去.
注意,这里的中间项Cpniaibpn−iC_{p^n}^i a^ib^{p^n-i}Cpniaibpn−i,是和特征定义相同的几个a相加,而不是域内定义的乘法.

下一篇将研究域上的多项式.