最小二乘法的应用（2015A题A题太阳影子定位）

一、题目回顾（第二问为例）

题：

根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

二、题目数据：

北京时间	x坐标(米)	y坐标(米)
14:42	1.0365	0.4973
14:45	1.0699	0.5029
14:48	1.1038	0.5085
14:51	1.1383	0.5142
14:54	1.1732	0.5198
14:57	1.2087	0.5255
15:00	1.2448	0.5311
15:03	1.2815	0.5368
15:06	1.3189	0.5426
15:09	1.3568	0.5483
15:12	1.3955	0.5541
15:15	1.4349	0.5598
15:18	1.4751	0.5657
15:21	1.516	0.5715
15:24	1.5577	0.5774
15:27	1.6003	0.5833
15:30	1.6438	0.5892
15:33	1.6882	0.5952
15:36	1.7337	0.6013
15:39	1.7801	0.6074
15:42	1.8277	0.6135

三、问题分析

由附件数据可知，真实的影长L′=x2+y2L' = \sqrt{x^2 + y^2}L′=x2+y2
得到时间影长列表：

北京时间	影长
14:42	1.1496
14:45	1.1822
14:48	1.2153
14:51	1.2491
14:54	1.2832
14:57	1.3180
15:00	1.3534
15:03	1.3894
15:06	1.4262
15:09	1.4634
15:12	1.5015
15:15	1.5402
15:18	1.5799
15:21	1.6201
15:24	1.6613
15:27	1.7033
15:30	1.7462
15:33	1.7901
15:36	1.8350
15:39	1.8809
15:42	1.9279

由建模分析知道：

影长与五个变量有关，分别是太阳高度角、杆高、时间、当地经度和当地纬度。影长由太阳高度角决定，而太阳高度角由杆高、时间、当地经度和当地纬度决定，由此我们采用控制变量法，分别分析这三个参数与影长的关系。

代码：

clc;
clear;% Φ -> A   纬度
% δ -> F   太阳赤道纬度夹角
% ω -> C   太阳时角
%  h -> Oh  太阳高度角
% λ -> D   经度dB = [0.4555   0.4409  0.4247  0.4136  0.3986  0.3919  0.3777  0.3656  0.3582  0.3481  0.3438  0.3305  0.3264  0.3169  0.3120  0.3069  0.2987  0.2928  0.2876  0.2853  ];dLs = [1.1496    1.1822  1.2153  1.2491  1.2832  1.3180  1.3534  1.3894  1.4262  1.4634  1.5015  1.5402  1.5799  1.6201  1.6613  1.7033  1.7462  1.7901  1.8350  1.8809  1.9279 ];% 4月18日是一年的第 108 天
n = 108;% 太阳赤纬夹角（度）
C = 23.45*sin(2*pi*(284+n)/365);% 太阳时
B = 2*pi*(n -81)/364;
E = 9.87*sin(2*B) - 7.53*cos(B) - 1.5*sin(B); Jm = 120;hour = [14    14  14  14  14  14  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15  15];
minutes = [42  45  48  51  54  57  0   3   6   9   12  15  18  21  24  27  30  33  36  39  42];value1 = 0;
value2 = 0;min = 100000000;j = 1;X = [];
Y = [];MinArr = ones(12,5);
dFsArr = [];LsArr = [];DD = ones(12, 20);LsArrr = ones(12, 21);
% 杆长
for L = 0:0.1:3% 纬度for W = 15:0.1:25% 经度for J = 105:0.1:115% 时间for i = 1:1:21T0 = hour(i) + minutes(i)/60;Ts = T0 + E/60 + (J - Jm)/15;% 太阳时角（度）S = 15*(Ts - 12);% 太阳高度角Oh = asin(sin(W*pi/180)*sin(C.*pi/180) + cos(W*pi/180)*cos(C*pi/180)*cos(S*pi/180));% 太阳方位角if(S <0)Fs = acos(  (sin(C*pi/180) - sin(Oh)*sin(W*pi/180)) / (cos(Oh)*cos(W*pi/180)));FsArr(i) = Fs;elseFs = 2*pi - acos(  (sin(C*pi/180) - sin(Oh)*sin(W*pi/180)) / (cos(Oh)*cos(W*pi/180)));FsArr(i) = Fs;endif(i >= 2)value1 = value1 + (  FsArr(i-1) - FsArr(i) - dB(i - 1) )^2;dFsArr(i-1) = FsArr(i-1) - FsArr(i);end% 影长 LsLs = L / tan(Oh);LsArr(i) = Ls;value2 = value2 + (Ls - dLs(i))^2;i = i +1;endvalue = value1/20*value2/21;%if(value < min)%min = value;%MinArr = [L W J]%endif (value < 0.0000003)X(j) = j;jY(j) = value;LsArrr(j, :) = LsArr;DD(j, :) = dFsArr*180/pi;MinArr(j , 1:5) = [j L W J value];j = j+1;endvalue1 = 0;value2 = 0;value = 0;endend
endplot(X, Y,'*');

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