根据解的存在情况，线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组，解不存在的超定方程组，有无穷多解的欠定方程组。

对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。

线性超定方程组经常遇到的问题是数 据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令(x=Ab)来寻求它的最小二乘解；

还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解 不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。

左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；

广义逆法是建立在对原超定方程直接进行 householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；

独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=Ab,三是用最小二乘法求解,

x=lsqnonneg(A,b)

(3)矩阵求逆

行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为：

B=inv(A)

该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。

在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，

而是使用矩阵除法运算x=AB来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，

并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。

因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。

(4)除法运算

在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB中，定义了矩阵的除法运算。

矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。

矩阵左除：

C=AB或C=mldivide(A,B)

矩阵右除；

C=A/B或C=mrdivide(A,B)

通常矩阵左除不等于右除，

如果A是方阵，AB等效于A的逆阵左乘矩阵B。也就是inv(A)*B。

如果A是一个n*n矩阵，B是一个n维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则AB就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。

如果A接近奇异的，MATLAB将会给出警告信息。

如果A是一个m*n矩阵，其中m不等于n，B是一个m维列向量，或是由若干这样的列的矩阵，

则X=AB是不定或超定方程组AX=B的最小二乘解。通过QR分解确定矩阵A的秩k，方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。

如果k，方程的解是不唯一的，用矩阵除法求得的最小二乘解是这种类型解中范数最小的。

matlab中关于左除的定义：

mldivide(A,B) and the

equivalent AB perform matrix

left division (back

slash). A and B must

be matrices that have the same number of rows, unless A is a

scalar, in which

case AB performs element-wise

division — that

is, AB = A.B.

If A is a square

matrix, AB is roughly the same

as inv(A)*B, except it is computed in a different

way. IfA is

an n-by-n matrix

and B is a column vector

with n elements, or a matrix with

several such columns, then X =

AB is the solution to the

equation AX = B.

A warning message is displayed

if A is badly scaled or nearly

singular.

If A is

an m-by-n matrix

with m ~=

n and B is a

column vector with m components,

or a matrix with several such columns, then X =

AB is the solution in the least squares sense to

the under- or overdetermined system of

equations AX = B.

In other

words, X minimizes norm(A*X

- B), the length of the

vector AX -B. The

rank k of A is

determined from the QR decomposition with column pivoting. The

computed solution X has at

most k nonzero elements per

column. If k < n, this is usually not the same

solution asx = pinv(A)*B, which returns a least squares

solution.

注：在不理解矩阵分解的条件下，使用左除求解超定方程的解。

A*X=B, A:M*N, M>N,

B-N*1;

X=AB;

B/A大体等效于B*inv(A) (B右乘A的逆阵)，但在计算方法上存在差异，更精确的，B/A=(ATBT)T。

输入：A=[1 2 3;4 5 7;4 7 9];B=[1 3

7;3 5 7;8 5 1];

矩阵左除。输入：AB

显示：ans =

-0.7500 -0.5000 -2.0000

5.7500 -3.5000 -18.0000

-3.2500 3.5000 15.0000

矩阵右除。输入：A/B

显示：ans =

-0.0217 0.4565 -0.0435

0.6522 0.3043 0.3043

-0.5652 1.8696 -0.1304