线性规划问题及单纯形法-目标函数值极小大M法
目标函数值极小大M法
目标函数值极小化(minZ),怎么求?
在目标函数值极大化(maxZ)的算法中涉及到检验数的,一律相反,其余保持不变即可,依旧按照下面的原则
取最小应该按照,检验数中应该选择负值中的最小的,判断最优解应该检验数都是正值,即到达最优解。
如上图,要用单纯形法求第一个模型,所以先将第一个模型化为标准形,这里化为标准形的模型没有x6和x7变量。但是要进行单纯形法,需要找到一个单位矩阵,这里单位矩阵可能需要初等行变换才能操作,所以,有一个简便的方法,就是x4是1 0 0,在添加一个x6是0 1 0,之后,添加一个x7是0 0 1,这样正好凑成一个单位矩阵。
注:这里x6,x7是外来变量,最后只能等于0,要不然原来的约束就不成立了,所以x6和x7前面加一个很大的数M,只有x6和x7等于0,才能找到最优解。若x7不为0,那么-2x1+x3 +x7= 1,若x7=1,那么-2x1+x3=0,则和原来不一样了。
添加的变量即为人工变量,人工变量不为零,原方程就没有可行解。
在目标函数中惩罚人工变量,使其必须为零,否则得不到最优值。引入大数M(正无穷)
minZ = -3x1+x2+x3+0x4+0x5+Mx6+Mx7【求最小值,那么M前面符号为正】
或
maxZ = -3x1+x2+x3+0x4+0x5-Mx6-Mx7【求最大值,那么M前面符号为负】
这样便可以强迫x6,x7出去,若得到最优状态x6和x7还是出不去,那么原方程组可能无解。
大M法迭代过程如下
第一步找基变量,之后计算检验数,计算比率值和之前的方法一样。
找检验数(1-3M)负的最小的,找比率值最小的。在找基变量,在求检验数(1-M)和比率值
发现检验数(-1)继续迭代
发现所有检验数都是正值,那么停止迭代找到最优解
最优解(4 1 9 0 0 0 0 ),最优值:Z=-2
当最优解,若是迭代之后,还是出不去,不为0,那么此时便没有可行解。
本文内容参考链接:https://www.bilibili.com/video/BV1jy4y1g77R?p=12&spm_id_from=pageDriver
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