高等数学——常用不定积分公式

一、基本积分表

∫kdx=kx+C\int kdx=kx+C∫kdx=kx+C
∫xudx=xu+1u+1+C\int x^udx= \text{\(\frac {x^{u+1}} {u+1}\)} + C∫xudx=u+1xu+1+C
∫dxx=ln∣x∣+C\int \cfrac{dx}x=ln|x|+C∫xdx=ln∣x∣+C
∫dx1+x2=arctanx+C\int \cfrac{dx}{1+x^2}=arctanx + C∫1+x2dx=arctanx+C
∫dx(1−x2=arcsinx+C\int \cfrac{dx}{\sqrt{\mathstrut {1-x^2}}}=arcsinx+C∫(1−x2dx=arcsinx+C
∫cosxdx=sinx+C\int cosxdx=sinx+C∫cosxdx=sinx+C
∫sinxdx=−cosx+C\int sinxdx=-cosx+C∫sinxdx=−cosx+C
∫dxcos2x=∫sec2xdx=tanx+C\int \cfrac{dx}{cos^{2}x}=\int sec^{2}xdx=tanx+C∫cos2xdx=∫sec2xdx=tanx+C
∫dxsin2x=∫csc2xdx=cotx+C\int \cfrac{dx}{sin^{2}x}=\int csc^{2}xdx=cotx+C∫sin2xdx=∫csc2xdx=cotx+C
∫secxtanxdx=secx+C\int secxtanxdx=secx+C∫secxtanxdx=secx+C
∫cscxcotxdx=cscx+C\int cscxcotxdx=cscx+C∫cscxcotxdx=cscx+C
∫exdx=ex+C\int e^xdx=e^x+C∫exdx=ex+C
∫axdx=axlna+C\int a^{x}dx=\cfrac{a^x}{lna}+C∫axdx=lnaax+C

二、特殊积分公式

∫shxdx=chx+C\int \text{sh}x \,\text{d}x=\text{ch}x+C∫shxdx=chx+C(双曲积分公式ch2t−sh2t=1\text{ch}^2t-\text{sh}^2t=1ch2t−sh2t=1)
∫chxdx=shx+C\int \text{ch}x \,\text{d}x=\text{sh}x+C∫chxdx=shx+C(双曲积分公式ch2t−sh2t=1\text{ch}^2t-\text{sh}^2t=1ch2t−sh2t=1)
∫tanxdx=–ln∣cosx∣+C\int \text{tan}x\,\text{d}x=\text{--}\text{ln}|\text{cos}x|+C∫tanxdx=–ln∣cosx∣+C
∫cotxdx=ln∣sinx∣+C\int \text{cot}x\,\text{d}x=\text{ln}|\text{sin}x|+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C\int \text{sec}x\,\text{d}x=\text{ln}|\text{sec}x+\text{tan}x|+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C\int \text{csc}x\,\text{d}x=\text{ln}|\text{csc}x-\text{cot}x|+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
∫dxa2+x2=1aarctanxa+C\int \cfrac{dx}{a^2+x^2}=\cfrac{1}{a}\text{arctan}\cfrac{x}{a}+ C∫a2+x2dx=a1arctanax+C
∫dxa2−x2=12aln∣x−ax+a∣+C\int \cfrac{dx}{a^2-x^2}=\cfrac{1}{2a}\text{ln}|\cfrac{x-a}{x+a}|+ C∫a2−x2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C
∫dx(a2−x2=arcsinxa+C\int \cfrac{dx}{\sqrt{\mathstrut {a^2-x^2}}}=\text{arcsin}\cfrac{x}{a}+C∫(a2−x2dx=arcsinax+C
∫dx(x2+a2=ln∣x+(x2+a2∣+C\int \cfrac{dx}{\sqrt{\mathstrut {x^2+a^2}}}=\text{ln}|x+\sqrt{\mathstrut {x^2+a^2}}|+C∫(x2+a2dx=ln∣x+(x2+a2∣+C
∫dx(x2−a2=ln∣x+(x2−a2∣+C\int \cfrac{dx}{\sqrt{\mathstrut {x^2-a^2}}}=\text{ln}|x+\sqrt{\mathstrut {x^2-a^2}}|+C∫(x2−a2dx=ln∣x+(x2−a2∣+C

三、分部积分

∫uv′dx=uv−∫u′vdx\int{uv'}\,\text{d}x=uv-\int{u'v\,\text{d}x}∫uv′dx=uv−∫u′vdx
或者
∫udv=uv−∫vdu\int{u}\,\text{d}v=uv-\int{v\,\text{d}u}∫udv=uv−∫vdu

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高等数学——常用不定积分公式

一、基本积分表

二、特殊积分公式

三、分部积分

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