阵列信号处理——求根MUSIC算法(Root MUSIC)

求根MUSIC算法，即root-MUSIC算法是MUSIC方法的一种多项式求根形式，它是由Barabell提出的，其基本思想是Pisarenko分解。相比于MUSIC算法，root-MUSIC算法无须谱峰搜索，降低了复杂度。

基本MUSIC空间谱的谱峰等价为 $a^{^{H}}(w)U_{n}=0^{T}$ 或 $a^{H}(w)u_{j}=0,j=p+1,...,M$ 。其中， $u_{p+1},...,u_{M}$ 是阵列样本协方差矩阵 $\hat{R}_{x}$ 的次特征向量。

若令 $p(z)=a(w)|_{z=e^{jw}}$ ，则有

向量内积 $u_{i}^{H}p(z)$ 给出多项式表示

式中， $u_{i,j}$ 是M×(M-p) 次特征向量矩阵 $U_{n}$ 的第（i，j）元素。于是，基本MUSIC空间谱表示 $a^{H}(w)u_{j}=0$ 或 $u_{j}^{H}a(w)=0,j=p+1,...,M$ 可以等价表示为

上式有可综合为 $U_{H}^{n}p(z)=0$ 或者 $\parallel U_{n}^{H}p(z) \parallel_{2}^{2} =0$ ，即有

换言之，只要对多项式 $p^{H}(z)U_{n}U_{n}^{H}p(z)$ 求出单位圆上的根zi，即可得到空间参数w1，…，wp。
这就是求根MUSIC的基本思想。

然而，上式并不是z的多项式，因为它还包含了z*的幂次项。由于我们只对单位圆上的z值感兴趣，所以可以用 $p^{T}(z^{-1})$ 代替 $p^{H}(z)$ ，这就给出了求根MUSIC多项式

仿真参数设置：

参数名称	参数值
阵列数	8
阵元间距	0.5
信源数	3
波达方向	10, 20, 30
信噪比	10
采样数（快拍）	200

程序如下：

clear all
close all
derad=pi/180;                           % 角度->弧度
radeg=180/pi;                           % 弧度->角度
twpi=2*pi;
kelm=8;                                 % 阵元数
dd=0.5;                                 % 阵元间距
d=0:dd:(kelm-1)*dd;
iwave=3;                                % 信源数
theta=[10 20 30];                       % 波达方向
snr=10;                                 % 信噪比
n=200;                                  % 采样数
A=exp(-1i*twpi*d.'*sin(theta*derad));   % 方向向量
S=randn(iwave,n);                       % 信源信号
X0=A*S;                                 % 接收信号
X=awgn(X0,snr,'measured');              % 添加噪声
Rxx=X*X';                               % 计算协方差矩阵
InvS=inv(Rxx);
[EVx,Dx]=eig(Rxx);                      % 特征值分解
EVAx=diag(Dx)';
[EVAx,Ix]=sort(EVAx);                   % 特征值从小到大排序
EVAx=fliplr(EVAx);                      % 左右翻转，从大到小排序
EVx=fliplr(EVx(:,Ix));% root-MUSIC
Unx=EVx(:,iwave+1:kelm);                % 噪声子空间
syms z;
pz=z.^([0:kelm-1]');
pz1=(z^(-1)).^([0:kelm-1]);
fz=z.^(kelm-1)*pz1*Unx*Unx'*pz;         % 构造多项式
a=sym2poly(fz);                         % 符号多项式->数值多项式
zx=roots(a);                            % 求根
rx=zx';
[as,ad]=(sort(abs((abs(rx)-1))));
DOAest=asin(sort(angle(rx(ad([1,3,5])))/pi))*180/pi;
disp(DOAest);

运行结果如下：

对求根MUSIC算法，我们再作如下说明。
（1）求根MUSIC算法与谱搜索方式的MUSIC算法原理是一样的，只不过是用一个关于z的矢量来代替导向矢量，从而用求根过程代替搜索过程；
（2）由于噪声的存在，求出的根不可能在单位圆上，可选择接近单位圆上的根为真实信号的根，这就存在一定的误差；
（3）求根MUSIC算法与谱搜索的MUSIC算法相似，同样存在两种表达方式，一个是利用噪声子空间，另一个是利用信号子空间。

参考文献：

阵列信号处理及MATLAB实现；张小飞，陈华伟，仇小锋（编著）

现代信号处理（第三版）；张贤达（编著）

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