判断最小生成树的唯一性

先来看一个例题：Forsaken喜欢独一无二的树

题意：
现在给定一个 nnn 个点，mmm 条边的图，每条边 eie_{i}ei 都有一个权值 wiw_{i}wi 。

刚开始最小生成树可能不唯一，现在可以删除一些边，使得剩下的边的最小生成树大小不变并且唯一。

求删除的边的权值和最小是多少?

分析：
什么样的边会影响到最小生成树的唯一性呢？

kruskal 求最小生成树是将所有边权从小到大排序，然后判断当前边的两个端点所在连通块是否连通。如果没有连通，那么这条边就需要拿。
而此时如果有另外一条边，虽然也可以将这两个连通块合并，但是其权值比较大，那么这条边是不会影响到最小生成树的。
所以，只有两个边的权值相同，并且都能将端点的两个连通块合并，这么这两个边选择哪个都行，那么最小生成树就不唯一了。

所以，为了保证最小生成树唯一，那么就是要去掉若干条权值相同并且能够合并相同连通块的边，只剩一个这样的边就行。

如何实现呢？

我们像 kruskal 一样将所有的边按照权值排序，从小到大遍历所有的边。
对于当前边来说，将所有的和当前边权相等的边都拿过来（双指针）。对于这些权值相同的边，我们要去掉一些能够合并相同连通块的边。

我们可以先将所有的权值相同且能够合并连通块的边都删除，然后再留下最小生成树中的边。
这样，对于权值相同的能够合并连通块的多余边就被删除了。

先遍历所有边，判断其是否可选，也就是判断其端点连接的两个连通块是否已经连通。如果没有连通，说明可选，删除的权值和 ans += wi；
这时，我们把能够合并连通块的所有边都删除了。
然后，再遍历一遍，用这些边求最小生成树权值和 sum。

最终，删除的多余边权之和就为 ans - sum。

 int sum = 0;for(int i=1;i<=m;i++){int r = i;while(r <= m && a[r].w == a[i].w) r++;r--;for(int j=i;j<=r;j++){int x = a[j].x, y = a[j].y, w = a[j].w;if(find(x) != find(y)) ans += w;}for(int j=i;j<=r;j++){int x = a[j].x, y = a[j].y, w = a[j].w;if(find(x) != find(y)) pre[find(x)] = find(y), sum += w;}i = r;}ans -= sum;

完整Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define Ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define int long long
#define PII pair<int,int>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
map<PII,int> mp;/**/const int N = 200010, mod = 1e9+7;
int T, n, m;
struct node{int x, y, w;
}a[N];
int ans, pre[N];bool cmp(node a, node b){return a.w < b.w;
}int find(int x){if(pre[x] != x) pre[x] = find(pre[x]);return pre[x];
}void kruskal()
{sort(a+1, a+m+1, cmp);int sum = 0;for(int i=1;i<=m;i++){int r = i;while(r <= m && a[r].w == a[i].w) r++;r--;for(int j=i;j<=r;j++){int x = a[j].x, y = a[j].y, w = a[j].w;if(find(x) != find(y)) ans += w; //能拿的都删去}for(int j=i;j<=r;j++){int x = a[j].x, y = a[j].y, w = a[j].w;if(find(x) != find(y)) pre[find(x)] = find(y), sum += w; //求最小生成树}i = r;}ans -= sum; //把最小生成树的权值留下，删去的就是多余的了
}signed main(){Ios;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) pre[i] = i;for(int i=1;i<=m;i++){int x, y, w;cin>>x>>y>>w;a[i] = {x, y, w};}kruskal();cout << ans;return 0;
}

这样，阻碍最小生成树唯一的边就都被删去了。

那么，如果需要判断一个图中最小生成树是否唯一，那么就可以用这种方法，看最终的删去边的权值是否为0，如果为0就是唯一的。
或者，也可以对于每一种权值来说，判断这其中的 可拿的边（端点所在连通块不连通） 是不是都在最小生成树中，如果有的不在，则说明最小生成树不唯一。

因为既然一个边可拿，也就是端点所在连通块不连通，那么其就应该出现在最小生成树中。而现在第二遍遍历跑最小生成树之后，发现之前可拿边的个数和可拿边的个数不同，那么也就是有多余的边，最小生成树不唯一。

例题：The Unique MST

Code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;#define Ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define int long long
#define PII pair<int,int>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'/**/const int N = 200010, mod = 1e9+7;
int T, n, m;
struct node{int x, y, w;
}a[N];
int ans, pre[N];
int sum;bool cmp(node a, node b){return a.w < b.w;
}int find(int x){if(pre[x] != x) pre[x] = find(pre[x]);return pre[x];
}int kruskal()
{sort(a+1, a+m+1, cmp);for(int i=1;i<=m;i++){int r = i;while(r <= m && a[r].w == a[i].w) r++;r--;int cnt = 0; //记录可拿边的个数 for(int j=i;j<=r;j++){int x = a[j].x, y = a[j].y, w = a[j].w;if(find(x) != find(y)) cnt++; //可拿边个数++ }for(int j=i;j<=r;j++){int x = a[j].x, y = a[j].y, w = a[j].w;if(find(x) != find(y)) pre[find(x)] = find(y), sum += w, cnt --; //用掉了，cnt-- }i = r;if(cnt) return 0; //最后还剩余可拿边，最小生成树不唯一 }return 1;
}signed main(){Ios;cin>>T;while(T--){cin>>n>>m;ans = 0, sum = 0;for(int i=1;i<=n;i++) pre[i] = i;for(int i=1;i<=m;i++){int x, y, w;cin>>x>>y>>w;a[i] = {x, y, w};}if(!kruskal()) cout<<"Not Unique!\n";else cout << sum <<endl;}return 0;
}

这种做法时间复杂度和求最小生成树复杂度相同，O(n+m)。
感觉比求次小生成树简单呢~

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