【CF1325E】 Ehab's REAL Number Theory Problem（思维+最小环bfs）

传送门

题目：
思路：
如果一个数xxx有三个不同的质约数p1,p2,p3p_1, p_2, p_3p1,p2,p3，那么这个数至少有8个约数。
这是因为gcd(p1,p3)=1,gcd(p2,p3)=1gcd(p_1,p_3)=1, gcd(p_2, p_3)=1gcd(p1,p3)=1,gcd(p2,p3)=1，那么gcd(p1∗p2,p3)=1gcd(p_1*p_2, p_3)=1gcd(p1∗p2,p3)=1，也就是说不可能存在两个质约数的乘积=xxx（否则就会有p3∣(p1∗p2),gcd(p1∗p2,p3)p_3|(p_1*p_2),gcd(p_1*p_2, p_3)p3∣(p1∗p2),gcd(p1∗p2,p3)）,再加上1和xxx就至少有8个约数了。
所以题目的意思是说给出的aia_iai都最多有两个质约数。
所谓完全平方数xxx，可以理解为对xxx进行完全质因子分解，每个质因子的出现次数都为偶次。
对aia_iai进行完全质因子分解，只考虑出现奇数次的质因子，由于题目保证aia_iai最多只有两个质约数，也就是出现奇数出的质因子最多只有两个。构造一个图，点的编号都是质数，边权是对应的aia_iai。xxx分解完后可能为1、1个质因子p、2个质因子p,q。在图中的连接情况对应的是：(1,1)、(1,p)、(p,q)，这样找到图中的最小环，环内点的数目即答案。因为环内每个点都出现了两次，这样就满足了完全平方数。
（1）自环(1,1)，或者两个点被连接了多次，这些情况可以直接判断答案。
（2）否则就是对于两个点只被直接连接一次的图，枚举1～sqrt(max(ai))1～sqrt(max(a_i))1～sqrt(max(ai))为起点bfs求最小环。
注意：若分解为两个质因子p和q，那么p∗q≤max(ai)p*q≤max(a_i)p∗q≤max(ai),即图中最大的质数为sqrt(max(ai))sqrt(max(a_i))sqrt(max(ai))，只从≤sqrt(max(ai))≤sqrt(max(a_i))≤sqrt(max(ai))的质数为起点就可以找到答案。
自测样例：

6
2 3 5 6 12 40

对应的图：

ac代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
int x, n, ans = INT_MAX;
struct node{int nxt, eid;
};
vector<node> edges[maxn];
map<pair<int, int>, int> mp;
bool vis[maxn];
int dis[maxn];
queue<int> q;
void Div(int x, int id)
{int p = 1, q = 1;for(int i = 2; i*i <= x; i++){if(x%i==0){int num = 0;while(x%i==0) num++, x/=i;if(num%2){if(p==1) p = i;else q = i;}}}if(x!=1){if(p==1) p = x;else q = x;}if(p==1&&q==1){ans = min(ans, 1);return ;}mp[{p, q}]++;if(mp[{p, q}]>=2){ans = min(ans, 2);return ;}edges[q].push_back({p, id});edges[p].push_back({q, id});
}
int bfs(int s)
{if(edges[s].empty()) return INT_MAX;memset(vis, false, sizeof vis);//记录边是否访问过memset(dis, 0, sizeof dis);while(!q.empty()) q.pop();q.push(s);dis[s] = 1;//标记起始点已被访问while(!q.empty()){int now = q.front(); q.pop();for(int i = 0; i < edges[now].size(); i++){int nxt = edges[now][i].nxt, eid = edges[now][i].eid;if(vis[eid]) continue;//边不回返if(dis[nxt]) return dis[now]+dis[nxt]-1;vis[eid] = true;q.push(nxt);dis[nxt] = dis[now]+1;}}return INT_MAX;//未成环
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", &x);Div(x, i);}if(ans!=INT_MAX) printf("%d\n", ans);else{for(int i = 1; i <= 1000; i++) ans = min(ans, bfs(i));if(ans==INT_MAX) ans = -1;printf("%d\n", ans);}return 0;
}

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