2.3保凸运算

交集
仿射函数
线性分式及透视函数

交集

几个凸集的交集也是凸集。

仿射函数

假设仿射函数 $f : R^n\rightarrow R^m,f(x)=Ax+b,A\in R^{m\times n},b\in R^m$

仿射函数有两个特性：

凸集S在仿射函数f下的像是凸的。 $f(S)=\left \{ f(x)| x\in S \right \}$
凸集S在f的原像是凸的。 $f^{-1}(S)=\left \{ x|f(x)\in S \right \}$ ，（注，数学上函数存在反函数，当且仅当函数是一一映射且是满射，但是在这个定义里面，不要求函数f具备这样的条件。）

这里书中给出对凸集S进行伸缩和平移后得到的集合仍为凸集，两个凸集的和仍为凸集。

线性分式及透视函数

透视函数

透视函数： $P: R^{n+1}\rightarrow R^n,P(x,t)=x/t,dom(P)=R^n\times R_{++}=\left \{ (x,t)|t> 0 \right \}$

凸集S在透视函数P下的像和原像均为凸的。

证明：

先证凸集S在透视函数P下的像是凸的。

$\forall x,y \in C,x=(\bar{x},x_{n+1}),y=(\bar{y},y_{n+1}),\forall \theta \in [0,1]$

$P(\theta x+(1-\theta) y)=\frac{\theta \bar{x} +(1-\theta) \bar{y}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta) y_{n+1}}=\frac{\theta \bar{x}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta) y_{n+1}}*\frac{x_{n+1}}{x_{n+1}}+\frac{(1-\theta) \bar{y}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta) y_{n+1}}*\frac{y_{n+1}}{y_{n+1}}=\frac{\theta x_{n+1}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta) y_{n+1}}*\frac{\bar{x}}{x_{n+1}}+\frac{(1-\theta) y_{n+1}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta) y_{n+1}}*\frac{\bar{y}}{y_{n+1}}=\mu P(x)+(1- \mu)P(y)$

其中，

$\mu = \frac{\theta x_{n+1}}{\theta x_{n+1}+(1-\theta) y_{n+1}}$

显然，凸集S在透视函数P下的像是凸的。

再证凸集S在透视函数P下的原像是凸的。

$P^{-1}(S)=\left \{(x,t)\in R^{n+1}| x/t \in S \right \}$

这里即证明 $P^{-1}(S)$ 为凸集

$\forall (x,t),(y,s) \in P^{-1}(S),\forall \theta \in [0,1]$

则要说明 $\theta(x,t)+(1-\theta)(y,s)\in P^{-1}(S)$ ，即

$\frac{\theta x+(1-\theta)y}{\theta t+(1-\theta) s}\in S$

$\frac{\theta x+(1-\theta)y}{\theta t+(1-\theta) s}=\frac{\theta x}{\theta t+(1-\theta) s}*\frac{t}{t}+\frac{(1-\theta)y}{\theta t+(1-\theta) s}*\frac{s}{s} =\frac{\theta t}{\theta t+(1-\theta) s}*\frac{x}{t}+\frac{(1-\theta)s}{\theta t+(1-\theta) s}*\frac{y}{s}=\mu (x/t)+(1-\mu)(y/t)$

$\mu =\frac{\theta t}{\theta t + (1-\theta)s}$

线性分式

线性分式函数由透视函数和仿射函数复合而成。 $f :R^{n}\rightarrow R^{m}$

$f(x)=\frac{Ax+b}{c^Tx+d},dom\, f=\left \{x|c^Tx+d>0\right \}$

同样，凸集S在线性分式下的像和原像均是凸的。

凸优化第二章凸集 2.3保凸运算相关推荐

《C++应用程序性能优化::第二章C++语言特性的性能分析》学习和理解
<C++应用程序性能优化::第二章C++语言特性的性能分析>学习和理解说明:<C++应用程序性能优化> 作者:冯宏华等 2007年版.最近出了新版,看了目录,在前面增加了一章 ...
计算机组成原理笔记（王道考研）第二章：数据的表示和运算2
内容基于中国大学MOOC的2023考研计算机组成原理课程所做的笔记. 感谢LY,他帮我做了一部分笔记.由于听的时间不一样,第四章前的内容看起来可能稍显啰嗦,后面会记得简略一些. 西电的计算机组织与体系 ...
计算机组成原理笔记（王道考研）第二章：数据的表示和运算1
内容基于中国大学MOOC的2023考研计算机组成原理课程所做的笔记. 感谢LY,他帮我做了一部分笔记.由于听的时间不一样,第四章前的内容看起来可能稍显啰嗦,后面会记得简略一些. 西电的计算机组织与体系 ...
考研 | 组成原理【第二章】数据的表示和运算
考研 | 组成原理[第二章]数据的表示和运算文章目录考研 | 组成原理[第二章]数据的表示和运算 I. 数制与编码 a. 进位计数制及其相互转换 b. BCD码 1. 8421码 2. 余3码 3 ...
凸优化第一【凸集与凸优化简介】
[本文仅供学习记录,概无其他用处,一些图片资源来自网络,侵删] 凸优化是一个简单的优化问题,优化-数学规划概念相同,本课程主要学习的内容包括:凸集.凸函数.凸优化和有关凸优化的一些算法. 优化:从一个 ...
SQL优化-第二章-从解释计划层面让SQL飞
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 前言在第一章,我们谈到加强数据库的设计层面认知可以让SQL的跑得更快,这章我们就谈论下如何从语言层面来提供优化SQL.如果说 ...
ARM嵌入式系统开发：软件设计与优化--第二章ARM处理器基础
注:本文资料全部来源于网络或书籍,同时加上个人理解.若有侵权,告知即删.若有错误,留言商讨. 1.寄存器: 总共有37个寄存器,最多可以有17个活动寄存器(16个数据寄存器,2个状态寄存器:CPSR和 ...
王道计算机考研计算机组成原理第二章、数据的表示和运算
1.进位计数制各种进制的常见书写方式十进制转为任意进制真值和机器数思维导图 2.BCD码(大纲已删) 3.字符与字符串 ASCII码汉字的表示和编码字符串思维导图 4.奇偶校验码(计 ...
（计算机组成原理题目题型总结）第二章：数据的表示和运算
文章目录基础小题白中英课本习题此部分内容选择题重点会出在进制转换.数据范围等一些内容此部分重点会出计算题基础小题核心转换原则:八进制.十六进制和二进制之间是有位数对应的关系的,而十进制和二 ...
文献翻译__人工智能时代医学图像重建中的凸优化算法（第4、5、6章）
文章下载–我的Gitee Convex optimization algorithms in medical image reconstruction-in the age of AI 人工智能时代医 ...

凸优化第二章凸集 2.3保凸运算