浅谈多重积分及其计算

P.S.
大作业系列之五（一二三为手写稿）
数学分析下列比较简单的内容
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多重积分的概念与基本性质
- 1 多重积分的定义
- 2 多重积分的性质
- 3 多重积分的存在定理
多重积分的计算
- 1 多重积分的计算顺序
- 2 多重积分的换元
- 3 球坐标变换
多重积分的实例
参考文献

1 多重积分的概念与基本性质

1.1 多重积分的定义

对自然数n(n>1)n(n>1),记集合TT

T=[a1,b1)×[a2,b2)×⋯×[an,bn)⊆Rn

T=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\cdots\times[a_n,b_n)\subseteq R^n
将每个区间[aj,bj)[a_j,b_j)划分成有限个不重叠的左闭右开的子区间IjI_j,记

C=I1×I2×⋯×In

C=I_1\times I_2\times\cdots\times I_n
则所有的 CC可以看做是 TT的一个划分(分割),即

T=C1∪C2∪⋯∪CmCi∩Cj=∅,i≠j

T=C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_m\\C_i\cap C_j=\emptyset,i\neq j
记 CiC_i的直径为 diamCidiamC_i.划分 CC的细度定义为

||C||=max1≤i≤m{diamCi}

||C||=\max_{1\le i\le m}\{diam C_i\}
设 f(x1,x2,⋯,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)为定义在 TT上的有界函数,对于任意ϵ>0\epsilon>0,存在 δ>0\delta>0,对于 TT上的任意分割C(||C||<δ)C(||C||,在 CiC_i中任取一点 (x1i,x2i,⋯,xni)(x_{1i},x_{2i},\cdots,x_{ni}),令 V(Ci)V(C_i)表示笛卡尔积为 CiC_i的所有区间的边长之积,若

∣∣∣∑i=1mf(x1i,x21,⋯,xni)V(Ci)−J∣∣∣<ϵ

\left|\sum_{i=1}^mf(x_{1i},x_{21},\cdots,x_{ni})V(C_i)-J\right|
则称函数 ff黎曼可积,且

J=lim||C||→0∑i=1mf(x1i,x2i,⋯,xni)V(Ci)

J=\lim _{||C||\to0}\sum_{i=1}^mf(x_{1i},x_{2i},\cdots,x_{ni})V(C_i)
称为函数 ff在nn维超立方体区域上的 nn重积分.

利用以上定义的nn重积分,可以给出一个定义在 nn维空间的有界集的超nn维体积.

给出超nn维体积定以后,也可以给出另一种形式三重积分数学定义.

设f(x1,x2,⋯,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)为定义在RnR^n上可求超nn维体积的有界区域DD上的有界函数,将其划分成有限个内部互不相交的有超nn维体积的子区域D1D2,⋯,DmD_1D_2,\cdots,D_m,记分割细度

λ=max1≤i≤m{diamDi}

\lambda=\max_{1\le i\le m}\{diam D_i\}
∀ϵ>0,∃δ>0,λ<δ\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\lambda使得 ∀Xi∈Di\forall X_i\in D_i都有

∣∣∣∑i=1mf(Xi)V(Di)−J∣∣∣<ϵ

\left|\sum_{i=1}^mf(X_i)V(D_i)-J\right|
则称 ff在DD上 nn重(黎曼)可积且积分等于JJ.

若函数ff在DD上黎曼可积,则记做

J=∫⋯∫Df(x1,x2,⋯,xn)dx1dx2⋯dxn=∫Df(X)dnx

J=\int\cdots\int_Df(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_1dx_2\cdots dx_n=\int_Df(X)d^nx

1.2 多重积分的性质

若函数ff和gg在DD上nn重可积,由极限的性质和运算法可知,

线性性

对于任意常数a,ba,b,则

∫D(af+bg)=a∫Df+b∫Dg

\int_D(af+bg)=a\int_Df+b\int_Dg
保序性

若在DD上满足f≤gf\le g,则

∫Df≤∫Dg

\int_Df\le\int_Dg
区域可加性

若DD可分成两个无公共内点的区域D1,D2D_1,D_2则ff在DD上可积的充要条件是在D1D_1和D2D_2上均可积,且

∫Df=∫D1f+∫D2f

\int_Df=\int_{D_1}f+\int_{D_2}f
乘积可积性

函数fgfg在DD上仍可积
绝对可积性

函数|f|在DD上可积,且

∣∣∣∫Df∣∣∣≤∫D|f|

\left|\int_Df\right|\le\int_D|f|
积分中值定理

若ff在闭区域DD中连续,则存在X0∈DX_0\in D,记V(D)V(D)为DD的超nn维体积,则

∫Df(X)dnx=f(X0)V(D)

\int_Df(X)d^nx=f(X_0)V(D)

1.3 多重积分的存在定理

将定积分的达布定理和勒贝格定理拓展到多重积分.

设函数f(x1,x2,⋯,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)为定义在可求超nn维体积的有界闭区域DD上的函数.设DD可以分割为有限个内部互不相交的子区域C:D1,D2,⋯,DmC: D_1,D_2,\cdots,D_m,定义

Mi=supX∈Dif(X),mi=infX∈Dif(X),i=1,2,⋯,mS(C)=∑i=1mMiV(Di),s(C)=∑i=1mmiV(Di),||C||=max1≤i≤m{diamDi}

M_i=\sup_{X\in D_i}f(X),m_i=\inf_{X\in D_i}f(X),i=1,2,\cdots,m\\S(C)=\sum_{i=1}^mM_iV(D_i),s(C)=\sum_{i=1}^mm_iV(D_i),||C||=\max_{1\le i\le m}\{diamD_i\}
则有:

若ff在DD上可积,则ff在D上必有界.

证明反证法.设ff在DD上无界,则对于任何DD的分割CC,必定存在某个子区域DkD_k,使得ff在DkD_k上无界.在i≠ki\neq k的各个子区域上取定XiX_i,并令

G=∣∣∣∣∑i=1,i≠knf(Xi)V(Di)∣∣∣∣

G=\left|\sum_{i=1,i\neq k}^{n}f(X_i)V(D_i)\right|
∀M>0,∃Xk∈Dk\forall M>0,\exists X_k\in D_k使得

|f(Xk)|>M+GV(Dk)

|f(X_k)|>\frac{M+G}{V(D_k)}
则

∣∣∣∑i=0mf(Xi)V(Di)∣∣∣≥|f(Xk)V(Dk)|−∣∣∣∣∑i=1,i≠knf(Xi)V(Di)∣∣∣∣>M+GV(Dk)V(Dk)−G=M

\left|\sum_{i=0}^mf(X_i)V(D_i)\right|\ge|f(X_k)V(D_k)|-\left|\sum_{i=1,i\neq k}^{n}f(X_i)V(D_i)\right|>\frac{M+G}{V(D_k)}V(D_k)-G=M
无论分割的细度||C||||C||多么小,上式总成立,这与ff在DD上可积矛盾.
达布定理

对于函数ff,

lim||C||→0S(C)=J¯,lim||C||→0s(C)=J−J¯=inf{S(C)|∀C},J−=sup{s(C)|∀C}

\lim_{||C||\to0}S(C)=\overline{J},\lim_{||C||\to0}s(C)=\underline{J}\\\overline{J}=\inf\{S(C)|\forall C\},\underline{J}=\sup\{s(C)|\forall C\}
其中J¯\overline{J}和J−\underline{J}分别称为上积分和下积分.

函数ff可积的充要条件是

lim||C||→0S(C)=lim||C||→0s(C)⇔J¯=J−

\lim_{||C||\to0}S(C)=\lim_{||C||\to0}s(C)\Leftrightarrow\overline{J}=\underline{J}
证明这里先证明

lim||C||→0S(C)=J¯

\lim_{||C||\to0}S(C)=\overline{J},另一个结论同理.

根据下确界的定义,∀ε>0,∃C′:D′1,D′2,⋯,D′m′\forall\varepsilon>0,\exists C':D'_1,D_2',\cdots,D_{m'}'使得

S(C′)<J¯+ε2

S(C')
任取分割C:D1,D2,⋯,D′mC:D_1,D_2,\cdots,D_m'满足

||C||=max1≤i≤mV(Di)<min{V(D′1),V(D′2),⋯,V(D′m′),ε2nm′ω}

||C||=\max_{1\le i\le m}V(D_i)
将分割CC和C′C'合并成一个新的分割C∗C^*,有

0≤S(C)−S(C∗)≤nm′ωδ

0\le S(C)-S(C^*)\le n^{m'}\omega\delta
ω\omega为函数ff的振幅,由于

0≤S(C)−J¯≤(S(C)−S(C∗))+(S(C∗)−S(C′))+(S(C′)−J¯)S(C∗)−S(C′)≤0

0\le S(C)-\overline{J}\le(S(C)-S(C^*))+(S(C^*)-S(C'))+(S(C')-\overline{J})\\S(C^*)-S(C')\le0
因此

S(C)−J¯≤(S(C)−S(C∗))+(S(C′)−J¯)≤nm′ωδ+ε2<ε

S(C)-\overline{J}\le(S(C)-S(C^*))+(S(C')-\overline{J})\le n^{m'}\omega\delta+\frac{\varepsilon}{2}
证毕.函数ff的可积性的充要条件的证明显然.
函数ff可积的充要条件是对于任意的ε>0\varepsilon>0,存在分割CC,使得

S(C)−s(C)<ε

S(C)-s(C)
若函数ff连续,则ff必定可积.
设函数ff为有界函数,ff可积的充要条件是不连续点集为零测集.

证明这里不妨设函数ff的不连续点全部落在nn维空间的一个光滑nn维超曲面上.对于任意的ε>0\varepsilon>0,记该超曲面的面积为pp,用

[pεn−1]+1

\left[\frac{p}{\varepsilon^{n-1}}\right]+1个边长为ε\varepsilon的nn维超立方体可以将这个曲面完全包含在其中.此部分记为Δ,其\Delta,其nn维超体积为

W≤([pεn−1]+1)εn≤(p+εn)ε

W\le\left(\left[\frac{p}{\varepsilon^{n-1}}\right]+1\right)\varepsilon^n\le(p+\varepsilon^n)\varepsilon
将区域DD分成两部分:D1=D∩Δ,D2=D−D1D_1=D\cap\Delta,D_2=D-D_1,由于ff在D2D_2上连续,则ff在D2D_2上可积,则存在D2D_2上的分割C2C_2,满足

S(C2)−s(C2)<ε

S(C_2)-s(C_2)
记

MΔ=supX∈Δf(X),mΔ=infX∈Δf(X)

M_\Delta=\sup_{X\in\Delta}f(X),m_\Delta=\inf_{X\in\Delta}f(X),CC表示由C2C_2和Δ\Delta的边界组成的分割,则有

S(C)−s(C)<[S(C2)−s(C2)]+(MΔ−mΔ)W<ε+ωW≤(a+pω+ωεn)ε

S(C)-s(C)
其中ω\omega为函数ff的振幅.由于ff为有界函数,则ω\omega为一有限值,因而ff在DD上可积.

若ff在DD上可积,∀ε>0,∀k∈N∗,∃C:D1,D2,⋯,Dm\forall \varepsilon>0,\forall k\in N^*,\exists C:D_1,D_2,\cdots,D_m使得

∑i=1mωiV(Di)<εk

\sum_{i=1}^m\omega_i V(D_i)
ωi\omega_i表示ff在DiD_i上的振幅.记其不连续点的集合为E(f)E(f),则有

E(f)=∪∞k=1E1k

E(f)=\cup_{k=1}^\infty E_{\frac{1}{k}},对于不连续点XX的振幅ω(X)\omega(X),存在k′∈N∗k'\in N^*满足

ω(X)≥1k′

\omega(X)\ge\frac{1}{k'} 因而能取到

ωi≥1n

\omega_i\ge\frac{1}{n}
用∑′\sum'表示对E1k∩DiE_{\frac{1}{k}}\cap D_i不为空的那些ii求和,则有

εn>∑i=1mωiV(Di)≥∑′ωiV(Di)≥1n∑′V(Di)∑′V(Di)<ε

\frac{\varepsilon}{n}>\sum_{i=1}^m\omega_iV(D_i)\ge\sum'\omega_iV(D_i)\ge\frac{1}{n}\sum'V(D_i)\\\sum'V(D_i)
即E(f)E(f)的nn维超体积为00,因而测度为00,证毕.

2 多重积分的计算

2.1 多重积分的计算顺序

理论上,对于nn重积分所化成的累次积分,有n!n!种不同的计算顺序.这里取一种计算顺序为例.

若函数ff在由下列不等式所确定的有界区域DD内是连续的:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x′1≤x1≤x′′1x′2(x1)≤x2≤x′′2(x1)⋮x′n(x1,x2,⋯,xn−1)≤xn≤x′′n(x1,x2,⋯,xn−1)

\begin{cases}x_1'\le x_1\le x_1''\\x_2'(x_1)\le x_2\le x_2''(x_1)\\\vdots\\x_n'(x1,x2,\cdots,x_{n-1})\le x_n\le x_n''(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})\end{cases}
其中x′1x_1'和x′′1x_1''是常数,x′2,x′′2,⋯,x′n,x′′nx_2',x_2'',\cdots,x_n',x_n'',是连续函数,则相应的多重积分可以化为累次积分,即

∫Df(X)dnx=∫x′′1x′1dx1∫x′′2(x1)x′2(x1)dx2⋯∫x′′n(x1,x2,⋯,xn−1)x′n(x1,x2,⋯,xn−1)f(x1,x2,⋯,xn)dxn

\int_Df(X)d^nx=\int_{x_1'}^{x_1''}dx_1\int_{x_2'(x_1)}^{x_2''(x_1)}dx_2\cdots\int_{x_n'(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})}^{x_n''(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_n
在其他的顺序下,同样成立.

2.2 多重积分的换元

设向量值函数F:D→D∗F:D\to D^*将可求超nn维体积的有界区域DD一一映射到区域D∗D^*,即

F(X)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜ϕ1(x1,x2,⋯,xn)ϕ2(x1,x2,⋯,xn)⋮ϕn(x1,x2,⋯,xn)⎞⎠⎟⎟⎟⎟

F(X)=\begin{pmatrix}\phi_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\\phi_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\\vdots\\\phi_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)\end{pmatrix}
FF在DD上具有一阶连续的偏导数,且

∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)≠0

\frac{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\neq0.设ff在DD上可积

∫⋯∫Df(x1,x2⋯,xn)dx1dx2⋯dxn=∫⋯∫D∗f(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)dϕ1dϕ2⋯dϕn

\int\cdots\int_Df(x_1,x_2\cdots,x_n)dx_1dx_2\cdots dx_n=\int\cdots\int_{D^*}f(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)\frac{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}d\phi_1d\phi_2\cdots d\phi_n
证明将DD分成mm个小区域DiD_i,区域D∗D^*也被相应地分成了m个小区域D∗iD^*_i,记其相应的超nn维体积为V(Di)V(D_i)和V(D∗i)V(D^*_i),设分割细度分别为||λ||||\lambda||和||λ∗||||\lambda^*||.

由Taylor公式展开并略去高阶无穷小后有

limV(D)→0V(D∗)V(D)=∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)

\lim_{V(D)\to0}\frac{V(D^*)}{V(D)}=\frac{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}
根据中值定理有

V(D∗i)=∫⋯∫D∣∣∣∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)∣∣∣dx1dx2⋯dxn=|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

V(D^*_i)=\int\cdots\int_D\left|\frac{\partial(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\right|dx_1dx_2\cdots dx_n=|J(\overline{X_i})|V(D_i)
其中Xi¯¯¯¯∈Di\overline{X_i}\in D_i,记Φi¯¯¯¯=(ϕ1(Xi¯¯¯¯),ϕ2(Xi¯¯¯¯),⋯,ϕn(Xi¯¯¯¯))∈D∗\overline{\Phi_i}=(\phi_1(\overline{X_i}),\phi_2(\overline{X_i}),\cdots,\phi_n(\overline{X_i}))\in D^*,则

∑i=1mf(Φi¯¯¯¯)V(D∗i)=∑i=1mf(Xi¯¯¯¯)|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

\sum_{i=1}^mf(\overline{\Phi_i})V(D_i^*)=\sum_{i=1}^mf(\overline{X_i})|J(\overline{X_i})|V(D_i)
由于FF的连续性,当||λ||→0||\lambda||\to0时,有||λ∗||→0||\lambda^*||\to0.上式两边取极限,得证.

2.3 球坐标变换

根据球坐标变换公式

x1x2⋮xn−1xn=rcosϕ1=rsinϕ1cosϕ2=rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−2cosϕn−1=rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−2sinϕn−1

\begin{aligned}x_1&=r\cos\phi_1\\x_2&=r\sin\phi_1\cos\phi_2\\\vdots\\x_{n-1}&=r\sin\phi_1\sin\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\\x_n&=r\sin\phi_1\sin\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}\end{aligned}
将直角坐标(x1,x2,⋯,xn)(x_1,x_2,\cdots,x_n)变换为极坐标(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1)(r,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1}).特别地,

x2!+x22+⋯+x2n=1∂(x1,x2,⋯,xn)∂(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1)=rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2

x_!^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\\\frac{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial(r,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}=r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}
证明第一式显然,很容易计算.对第二式,有

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cosϕ1sinϕ1cosϕ2⋮sinϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1sinϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1−rsinϕ1rcosϕ1cosϕ2rcosϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1rcosϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1−rsinϕ1sinϕ2⋯⋯−rsinϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1rsinϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

\begin{pmatrix}\cos\phi_1&-r\sin\phi_1\\\sin\phi_1\cos\phi2&r\cos\phi_1\cos\phi2&-r\sin\phi_1\sin\phi_2\\\vdots\\\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}&r\cos\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}&\cdots&-r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}\\\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}&r\cos\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1}&\cdots&r\sin\phi_1\cdots\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\end{pmatrix}

∂(x1,x2,⋯,xn)∂(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1)=(rcos2ϕ1sinn−2ϕ1+rsinn)∂(x′1,x′2,⋯,x′n−1)∂(r,ϕ2,⋯,ϕn−1)=rsinn−2∂(x′1,x′2,⋯,x′n−1)∂(r,ϕ2,⋯,ϕn−1)⋯=rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2

\begin{aligned}\frac{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial(r,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}&=\left(r\cos^2\phi_1\sin^{n-2}\phi_1+r\sin^n\right)\frac{\partial(x_1',x_2',\cdots,x_{n-1}')}{\partial(r,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}\\&=r\sin^{n-2}\frac{\partial(x_1',x_2',\cdots,x_{n-1}')}{\partial(r,\phi_2,\cdots,\phi_{n-1})}\\&\cdots\\&=r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}\end{aligned}

3 多重积分的实例

例1 计算

>∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn>

> \int\cdots\int_Ddx_1dx_2\cdots\ x_n >
其中

D={x1+x2+⋯+xn≤1xi≥0,i=1,2,⋯,n

D=\begin{cases}x_1+x_2+\cdots+x_n\le1\\x_i\ge0,i=1,2,\cdots,n\end{cases} .

解1 转化成累次积分再逐层计算.

>=====∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−10dxn∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−2011!(a−x1−x2−⋯−xn−1)dxn−1∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−3012!(a−x1−x2−⋯−xn−2)dxn−2⋯∫a01(n−1)!(a−x1)n−1ann!>

> \begin{aligned}&\int\cdots\int_Ddx_1dx_2\cdots\ x_n\\=&\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1}}dx_n\\=&\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-2}}\frac{1}{1!}(a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1})dx_{n-1}\\=&\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-3}}\frac{1}{2!}(a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-2})dx_{n-2}\\&\cdots\\=&\int_0^a\frac{1}{(n-1)!}(a-x_1)^{n-1}\\=&\frac{a^n}{n!}\end{aligned} >
解2 同样需要转化成累次积分,但是与上一个解法不同,这里做代换.记

>In(a)=∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−10dxn>

> I_n(a)=\int_0^adx_1\int_0^{a-x_1}dx_2\int_0^{a-x_1-x_2}dx_3\cdots\int_0^{a-x_1-x_2-\cdots-x_{n-1}}dx_n >
在右端的累次积分做代换x1=ay1,x2=ay2,⋯,xn=aynx_1=ay_1,x_2=ay_2,\cdots,x_n=ay_n,则

>In(a)=anIn(1)In(1)=∫10dx1(In−1(1−x1))=In−1(1)∫10(1−x1)n−1dx1=1nIn−1(1)>

> I_n(a)=a^nI_n(1)\\I_n(1)=\int_0^1dx_1\left(I_{n-1}(1-x_1)\right)=I_{n-1}(1)\int_0^1(1-x_1)^{n-1}dx_1=\frac{1}{n}I_{n-1}(1) >
因而

>In(a)=ann!>

> I_n(a)=\frac{a^n}{n!} >

例2 计算

>∫⋯∫Dx1+x2+⋯+xn−−−−−−−−−−−−−−√dx1dx2⋯ xn>

> \int\cdots\int_D\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n}dx_1dx_2\cdots\ x_n >
其中

D={x1+x2+⋯+xn≤1xi≥0,i=1,2,⋯,n

D=\begin{cases}x_1+x_2+\cdots+x_n\le1\\x_i\ge0,i=1,2,\cdots,n\end{cases} .

解先换元,再将其化为累次积分,则有

>x1x2⋮xn−1xn=y1(1−y2)=y1y2(1−y3)=y1y2⋯yn−1(1−yn)=y1y2⋯yn,0≤yi≤1,(i=1,2,⋯,n),x1+x2+⋯+xn=y1>

> \begin{aligned}x_1&=y_1(1-y_2)\\x_2&=y_1y_2(1-y_3)\\\vdots\\x_{n-1}&=y_1y_2\cdots y_{n-1}(1-y_n)\\x_n&=y_1y_2\cdots y_n\end{aligned},0\le y_i\le1,(i=1,2,\cdots,n),x_1+x_2+\cdots+x_n=y_1 >

>∣∣∣∣∣∣∣∣1−y2y2(1−y3)⋮y2y3⋯yn−1(1−yn)y2y3⋯yn−y1y1(1−y3)y1y3⋯yn−1(1−yn)y1y3⋯yn−y1y2⋯⋯y1y2⋯yn−2(1−yn)y1y2⋯yn−2yn−y2y3⋯yn−1y1y2⋯yn−1∣∣∣∣∣∣∣∣=yn−11yn−22⋯yn−1>

> \left|\begin{matrix}1-y_2&-y_1\\y_2(1-y_3)&y_1(1-y_3)&-y_1y_2\\\vdots\\y_2y_3\cdots y_{n-1}(1-y_n)&y_1y_3\cdots y_{n-1}(1-y_n)&\cdots&y_1y_2\cdots y_{n-2}(1-y_n)&-y_2y_3\cdots y_{n-1}\\y_2y_3\cdots y_n&y_1y_3\cdots y_n&\cdots&y_1y_2\cdots y_{n-2}y_n&y_1y_2\cdots y_{n-1}\end{matrix}\right|\\=y_1^{n-1}y_2^{n-2}\cdots y_{n-1} >

>==∫⋯∫Dx1+x2+⋯+xn−−−−−−−−−−−−−−√dx1dx2⋯ xn∫10∫10⋯∫10yn−121yn−22⋯yn−1dy1dy2⋯yn2(n−1)!(2n+1)>

> \begin{aligned}&\int\cdots\int_D\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n}dx_1dx_2\cdots\ x_n\\=&\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1y_1^{n-\frac{1}{2}}y_2^{n-2}\cdots y_{n-1}dy_1dy_2\cdots y_n\\=&\frac{2}{(n-1)!(2n+1)}\end{aligned} >

例3 计算nn维角锥体积

>∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn>

> \int\cdots\int_Ddx_1dx_2\cdots\ x_n >
其中

D={x1a1+x2a2+⋯+xnan≤1ai>0,xi≥0,i=1,2,⋯,n

D=\begin{cases}\frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\cdots+\frac{x_n}{a_n}\le1\\a_i>0,x_i\ge0,i=1,2,\cdots,n\end{cases} .

解令x1=a1y1,x2=a2y2,⋯,xn=anynx_1=a_1y_1,x_2=a_2y_2,\cdots,x_n=a_ny_n,根据例1的结果有

>∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn=a1a2⋯an∫⋯∫D∗dy1dy2⋯ yn=a1a2⋯ann!>

> \int\cdots\int_Ddx_1dx_2\cdots\ x_n=a_1a_2\cdots a_n\int\cdots\int_{D^*}dy_1dy_2\cdots\ y_n=\frac{a_1a_2\cdots a_n}{n!} >

例4 计算nn维超球体的体积

>∫⋯∫x21+x22+⋯+x2n≤a2dx1dx2⋯ xn>

> \int\cdots\int_{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le a^2}dx_1dx_2\cdots\ x_n >
解1 利用nn维球坐标计算.

>==∫⋯∫x21+x22+⋯+x2n≤a2dx1dx2⋯ xn∫10dr∫π0dϕ1∫π0dϕ2⋯∫π0dϕn−2∫2π0rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2dϕn−1⎧⎩⎨πmm!a2m,2⋅(2π)m(2m+1)!!a2m+1,n=2mn=2m+1>

> \begin{aligned}&\int\cdots\int_{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le a^2}dx_1dx_2\cdots\ x_n\\=&\int_0^1dr\int_0^\pi d\phi_1\int_0^\pi d\phi_2\cdots\int_0^\pi d\phi_{n-2}\int_0^{2\pi}r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}d\phi_{n-1}\\=&\begin{cases}\frac{\pi^m}{m!}a^{2m},&n=2m\\\frac{2\cdot(2\pi)^m}{(2m+1)!!}a^{2m+1},&n=2m+1\end{cases}\end{aligned} >
解2 利用代换法,令x1=ay1,x2=ay2,⋯,xn=aynx_1=ay_1,x_2=ay_2,\cdots,x_n=ay_n

>Vn(a)=∫⋯∫x21+x22+⋯+x2n≤a2dx1dx2⋯ xn=anVn(1)>

> V_n(a)=\int\cdots\int_{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le a^2}dx_1dx_2\cdots\ x_n=a^nV_n(1) >

>Vn(1)=∫1−1dx1(In−1(1−x21−−−−−√))=In−1(1)∫1−1(1−x21)n−12dx1=2Vn−1(1)∫π20sinnϕdϕV1(1)=2>

> V_n(1)=\int_{-1}^{1}dx_1(I_{n-1}(\sqrt{1-x_1^2}))=I_{n-1}(1)\int_{-1}^1(1-x_1^2)^{\frac{n-1}{2}}dx_1=2V_{n-1}(1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n\phi d\phi\\V_1(1)=2 >

可以得到同样的结果

>Vn(a)=⎧⎩⎨πmm!a2m,2⋅(2π)m(2m+1)!!a2m+1,n=2mn=2m+1>

> V_n(a)=\begin{cases}\frac{\pi^m}{m!}a^{2m},&n=2m\\\frac{2\cdot(2\pi)^m}{(2m+1)!!}a^{2m+1},&n=2m+1\end{cases} >

例5 计算nn维圆锥的体积,边界方程

>x21a21+x22a22+⋯+x2n−1a2n−1=x2na2n,xn=an>

> \frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{a_{n-1}^2}=\frac{x_n^2}{a_n^2},x_n=a_n >
解利用广义球坐标变换的思想,即

>x1x2⋮xn−2xn−1xn=a1rcosϕ1=a2rsinϕ1cosϕ2=an−2rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−3cosϕn−2=an−1rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−3sinϕn−2=anx′n>

> \begin{aligned}x_1&=a_1r\cos\phi_1\\x_2&=a_2r\sin\phi_1\cos\phi_2\\\vdots\\x_{n-2}&=a_{n-2}r\sin\phi_1\sin\phi_2\cdots\sin\phi_{n-3}\cos\phi_{n-2}\\x_{n-1}&=a_{n-1}r\sin\phi_1\sin\phi_2\cdots\sin\phi_{n-3}\sin\phi_{n-2}\\x_n&=a_nx_n'\end{aligned} >
则

>V=a1a2⋯an∫10rn−2dr∫π0sinn−3ϕ1dϕ1⋯∫π0sinϕn−3dϕn−3∫2π0dϕn−2∫1rdx′n=⎧⎩⎨⎪⎪a1a2⋯an(2π)m−1(2m−1)!!m,a1a2⋯anπmm!(2m+1),n=2mn=2m+1>

> \begin{aligned}V&=a_1a_2\cdots a_n\int_0^1r^{n-2}dr\int_0^\pi\sin^{n-3}\phi_1d\phi_1\cdots\int_0^\pi\sin\phi_{n-3}d\phi_{n-3}\int_0^{2\pi}d\phi_{n-2}\int_r^1dx_n'\\&=\begin{cases}\frac{a_1a_2\cdots a_n(2\pi)^{m-1}}{(2m-1)!!m},&n=2m\\\frac{a_1a_2\cdots a_n\pi^m}{m!(2m+1)},&n=2m+1\end{cases}\end{aligned} >

参考文献

杨小远,孙玉泉,杨卓琴,薛玉梅编著.工科数学分析分析教程(下册)[M].北京:科学出版社,2012:27-29
杨小远,孙玉泉,杨卓琴,薛玉梅编著.工科数学分析分析教程(上册)[M].北京:科学出版社,2012:190-191,210-214
费定晖,周学圣编演.吉米多维奇数学分析习题集题解6[M].济南:山东科学技术出版社,2012:106-111
wikipedia.Multiple integral[EB/OL].2017-05-30.

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral