1.导航误差状态方程（L系）
- 1.1导航误差——位置误差（L系）
- 1.2导航误差——速度误差（L系）
- 1.3导航误差——姿态误差（L系）
- 1.4 导航误差——传感器误差（L系）
- 1.5 导航误差小结（L系）
2. Schuler 效应
- 2.1 东向误差的舒勒效应
- 2.2 北向误差的舒勒效应

1.导航误差状态方程（L系）

INS的准确性受到各种因素的影响，如：初始对准过程中的误差、传感器误差、算法误差。
若知道这些误差对导航参数(位置、速度和姿态)的影响，就可以通过建模来进行误差的估计，从而减小误差对导航结果的影响。
因此，误差模型是分析和估计惯性导航系统误差源所必需的。估计器包括：卡尔曼滤波（KF) ；粒子滤波(PF) 和AI技术统上。
Mechanizaion状态方程用于确定性动态系统物理过程的描述。这些方程的解中含有误差(确定性和随机性)，因此需要使用传感器误差模型来进行分析和估计。
动态系统的的误差随时间变化，因此可以用微分方程来描述。由于这些方程是非线性的，在使用卡尔曼滤波之前需要将它们线性化。

根据上一章可知，导航参数方程具有以下关系：

LLF系（东北天）下的误差状态方程包括：纬度、经度、高度误差；东北天三个方向的速度误差、三个姿态角的误差；以及加速度计误差和陀螺仪漂移；
总误差为15维的状态矢量：

1.1导航误差——位置误差（L系）

位置误差指的是，地理位置（纬度、经度、海拔）估计值的误差，已知位置的导数为：

位置误差定义为：

通过一阶泰勒展开，整理等式右侧，并省略矩阵中的极小项，得到位置误差的导数具有以下形式：

由上式可知，位置误差的状态方程与位置状态方程的转移关系近似相同。

1.2导航误差——速度误差（L系）

加速度测量值需要去除科氏力和重力矢量的影响后，才可进行积分计算。

假定上式的误差可写成：

则，速度误差为：

将上式等号右边分为5个子项：

(1)根据反对称矩阵定理：Ab=-Ba，第一项可改写为：

其中：Fl为在L系上加速度比力矢量 fl:[ fe, fn, fu ] 的反对称矩阵；
(2)第二项

(3)第三项
由上一章已知，l系相对于e系的角速率、e系相对于i系的角速率为：

将角速率矢量转化为反对成矩阵形式，并代入到第三项中，得到：

(4)第四项
角速率的误差定义：

省略中间推导过程，可得到：

代入定义：

省略分母的二次方项，得到：

因此，第四项最后结果为：

(5)第五项
R为地球半径，g为重力矢量的模

经过整理合并，速度误差可写成：

方程右边的第三项和第四项中，包含以地球半径作为分母的元素，以及乘以地球自转角速度（we）的元素，这些元素相对较小，在实际计算可忽略不计。因此，省略较小项的速度误差可简洁的表示为：

注意：加速度分量fe 、fn与重力矢量相比是很小的(接近于零),而 fu 接近重力加速度(9.8米/ sec2)。
因此，根据上述关系可知 deta( ve)与deta( r)、deta( vn)与deta( p)之间存在强耦合关系，而deta(ve)、deta(vn)与deta(A)之前是一种弱耦合的关系。

1.3导航误差——姿态误差（L系）

姿态误差：两个坐标系相对旋转的误差，实际上是由角速度误差引起的。
根据上一章，已知旋转矩阵的状态方程：

由于理论计算值存在误差，因此与真实值之间存在一个误差小量：（用带上三角的符号表示理论计算值，不带上三角的符号为真实值）

其中，旋转误差小量可以写为【欧拉角误差的反对称矩阵】乘以【两个坐标系之间的真实旋转矩阵】的形式：

将包含误差的式子代入旋转矩阵的状态方程：

同时b系相对于l系的角速度的反对称矩阵也可写成：真实值角速度+线性角速度误差的形式：

这样就得到了一个旋转矩阵的导数与角速率误差、姿态角误差的关系式，为了进一步探究姿态角误差的变化与说明因素有关，我们可以通另一个方式获得一个等价的方程。

为了得到矩阵R的变化率，需要对理论测量的旋转矩阵求导，用姿态角误差变化率表示变换矩阵R的变化率：

通过两个等价方程，可以得到：

消去等式两侧的相同元素：

等式右边第二项为二阶误差，可以忽略不计，因此可以得到姿态角误差的变化率为：

上式是反对称矩阵的形式，将其转化为矢量形式的姿态角误差变化率：

上式说明了：姿态误差=[ deta( p) ,deta( r) ,deta( A) ]T 可通过角速度误差deta(Wlb)表示。

下面分析角速度误差deta(Wlb)的表达式；
载体系b相对于大地系l的角速度Wlb 由l系相对于惯性系i的角速率（Wil） - 传感器测量的b系相对于i系的角速率（Wib）得到，即：

角速度误差deta(Wlb)可表示为：

根据反对称矩阵公式：Ab=-Ba ，有:

将deta(Wlb)代入角速度误差方程：

根据上式，可知姿态角误差由以下几个因素构成：1. 导航参数误差 deta(Wil) ； 2.载体系旋转速率的测量误差 deta(Wib)；3. 以及i系相对于l系的角速率的反对称矩阵

导航参数误差 deta(Wil)具有以下定义：

同样，i系相对于l系的角速率的反对称矩阵

综合以上式子，可以得到姿态角误差的变化率为：

其中，第三项和第四项中包含地球半径的倒数项、以及地球旋转的乘积项，在大多数的导航计算中可以将其忽略不计，因此姿态角误差可以仅保留前两项，简化为：
上式隐含的强耦关系也被称为舒勒效应。

1.4 导航误差——传感器误差（L系）

传感器误差主要是陀螺仪漂移和加速度计偏差，包含确定性误差与非确定性误差。确定性部分在实验校准过程中进行计算，并在测量中进行补偿。传感器误差的不确定性部分是随机的，采用随机模型进行建模。
这些误差通常在时间上是相关的，常用的建模方法包括：随机游走过程、一阶高斯-马尔科夫（GM）过程和自回归（AR）过程。

传感器的随机误差模型一般采用一阶GM过程进行建模，其一般形式为：

x: 随机过程
beta：过程相关时间的倒数
W：零均值不相关的高斯噪声的单位协方差
segma2：随机过程高斯白噪声的协方差

（1）加速度计Bias误差

（2）陀螺仪漂移drift误差

1.5 导航误差小结（L系）

L系的位置、速度、姿态的状态误差以及传感器误差，可归结为：

其中

状态误差的流程框图：

若将上述误差状态方程写为一阶微分形式：

2. Schuler 效应

舒勒效应与速度误差deta(ve)与deta(vn)、俯仰角误差deta( p)与横滚角误差deta( r)在水平面上的耦合有关。这种耦合关系限制了水平和垂直速度以及俯仰和滚转角的误差。

2.1 东向误差的舒勒效应

根据误差模型，我们已知，横滚角roll误差的状态方程为：

东向的速度误差Ve的状态方程为：

因为 fu接近重力加速度g，而 fn 非常小，因次上式可进行简化，可知 deta（ve）与deta（r）之间存在强耦合的关系：

对上式求导（东向速度误差求二阶导），并代入roll误差的导数关系式，可得：

方程解得的东向速度误差deta（ve）随时间振荡的频率非常小，等于1/5000 Hz。将这种小频率震荡称为舒勒频率 fs，时间间隔为84.4分钟。因此，速度误差是有界的。
舒勒频率：

同理，若是对roll误差求二阶导，并代入东向速度误差的导数，得到：

方程解得到的横滚角误差deta（r）同样会随时间以舒勒频率振荡。因此，姿态误差会随着时间的推移而变得有界。

东向速度误差deta（ve）与横滚角误差deta（r）之间存在强耦合关系，也就是说，如果从外部(如GPS)对INS的东向速度进行更新，从而得到准确的deta（ve）估计，也会使得横滚角误差deta（r）变得更准确。换句话说，速度的更新使得东向速度误差deta（ve）可观，而由于强耦合关系，这种可观性也会延伸到横滚角误差deta（r）上。

2.2 北向误差的舒勒效应

与东向的误差相似，舒勒效应同样也体现在北向的误差模型上。
根据姿态误差的状态方程，可知 俯仰角pitch的误差变化率为：

而与之存在紧耦合关系的是北向的速度误差deta（vn）：

简化为：

分别对俯仰角pitch的误差和北向速度误差做二次微分：

方程解得的俯仰角pitch的误差随时间以舒勒频率 fs 振荡；**北向的速度误差deta（vn）与俯仰角的误差deta（p）**之间的强耦合如图所示。

当系统的北向速度由外部源更新时，不仅北向的速度误差deta（vn）得到了准确估计，由于强耦合关系，俯仰角的误差deta（p）也得到了准确估计。

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