【图解算法数据结构】（九）数学
目录
一、剑指 Offer 14- I. 剪绳子
1.1 题求
1.2 求解
1.3 解答
二、剑指 Offer II. 剪绳子 II
2.1 题求
2.2 求解
三、剑指 Offer 39. 数组中出现次数超过一半的数字
3.1 题求
3.2 求解
3.3 解答
四、剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数
4.1 题求
4.2 求解
4.3 解答
五、剑指 Offer 44. 数字序列中某一位的数字
5.1 题求
5.2 求解
5.3 解答
六、剑指 Offer - II. 和为 s 的连续正数序列
6.1 题求
6.2 求解
6.3 解答
七、剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字 ☆
7.1 题求
7.2 求解
7.3 解答
八、剑指 Offer 66. 构建乘积数组
8.1 题求
8.2 求解
8.3 解答
一、剑指 Offer 14- I. 剪绳子
1.1 题求
1.2 求解
法一：3 的幂次
# 24ms - 98.38%
class Solution:def cuttingRope(self, n: int) -> int:if n == 3:return 2elif n == 4:return 4max_product = 1# 遍历所有 3 的幂组合for i in range(1, n//3+1):cur_product = int(math.pow(3, i)) ### math.pow 比 ** 快非常多！！y = n - 3 * iif y > 0:cur_product *= y if cur_product > max_product:max_product = cur_productreturn max_product官方说明
# 24ms - 98.38%
class Solution:def cuttingRope(self, n: int) -> int:if n <= 3: return n - 1# 商 与 余数a, b = n // 3, n % 3# 余数为 0if b == 0: return int(math.pow(3, a))# 余数为 1if b == 1: return int(math.pow(3, a - 1) * 4) # 即 × 2×2, 因为 2×2 > 3×1# 余数为 2return int(math.pow(3, a) * 2) # 即 × 2
1.3 解答
参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/5v1026/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/5vyva2/
二、剑指 Offer II. 剪绳子 II
2.1 题求
2.2 求解
官方说明
# 20ms - 99.76%
class Solution:def cuttingRope(self, n: int) -> int:if n <= 3: return n - 1a, b, p, x, rem = n // 3 - 1, n % 3, 1000000007, 3 , 1while a > 0:if a % 2: rem = (rem * x) % px = x ** 2 % pa //= 2if b == 0: return (rem * 3) % p # = 3^(a+1) % pif b == 1: return (rem * 4) % p # = 3^a * 4 % preturn (rem * 6) % p # = 3^(a+1) * 2 % p# 28ms - 96.05%
# 由于语言特性，Python 可以不考虑大数越界问题
class Solution:def cuttingRope(self, n: int) -> int:if n <= 3: return n - 1a, b, p = n // 3, n % 3, 1000000007if b == 0: return 3 ** a % pif b == 1: return 3 ** (a - 1) * 4 % preturn 3 ** a * 2 % p参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/5vcapc/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/5vbrri/
三、剑指 Offer 39. 数组中出现次数超过一半的数字
3.1 题求
3.2 求解
法一：哈希表
# 40ms - 82.66%
class Solution:def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:half_len = len(nums) // 2hashmap = {}for n in nums:if hashmap.get(n) is None:hashmap[n] = 0hashmap[n] += 1if hashmap[n] > half_len:return nreturn -1官方说明
# 40ms - 82.66%
class Solution:def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:### 摩尔投票法 ###votes = 0for num in nums:# 当票数 votes = 0 时, 假设当前数字 num 是众数if votes == 0: x = num# 当 num = x 时, 票数 votes +1; 当 num != x 时, 票数 votes -1votes += 1 if num == x else -1return x'''例子：[1, 2, 3, 2, 2, 2, 5, 4, 2]众数： 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2票数：+1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, +1'''
class Solution:def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:votes, count = 0, 0for num in nums:if votes == 0: x = numvotes += 1 if num == x else -1# 验证 x 是否为众数for num in nums:if num == x: count += 1return x if count > len(nums) // 2 else 0 # 当无众数时返回 03.3 解答
参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/99iy4g/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/99ussv/
四、剑指 Offer 43. 1～n 整数中 1 出现的次数
4.1 题求
4.2 求解
官方说明 (困难)
# 24ms - 97.87%
class Solution:def countDigitOne(self, n: int) -> int:digit, res = 1, 0high, cur, low = n // 10, n % 10, 0while high != 0 or cur != 0:# 当 cur = 0 时, 当前位 cur 的 1 的出现次数只由高位 high 决定if cur == 0: res += high * digit# 当 cur = 1 时, 当前位 cur 的 1 的出现次数由高位 high 和低位 low 决定elif cur == 1: res += high * digit + low + 1# 当 cur = 2, 3, ⋯ , 9 时, 当前位 cur 的 1 出现次数只由高位 high 决定else: res += (high + 1) * digitlow += cur * digit # 将 cur 加入 low ，组成下轮 lowcur = high % 10 # 下轮 cur 是本轮 high 的最低位high //= 10 # 将本轮 high 最低位删除，得到下轮 highdigit *= 10 # 位因子每轮 × 10return res 4.3 解答
参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/572jxs/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/57nyhd/
五、剑指 Offer 44. 数字序列中某一位的数字
5.1 题求
5.2 求解
官方说明
digit, start, count = 1, 1, 9
while n > count:n -= countstart *= 10 # 1, 10, 100, ...digit += 1 # 1, 2, 3, ...count = 9 * start * digit # 9, 180, 2700, ...
num = start + (n - 1) // digit
s = str(num) # 转化为 string
res = int(s[(n - 1) % digit]) # 获得 num 的 第 (n - 1) % digit 个数位，并转化为 int
# 32ms - 76.65%
class Solution:def findNthDigit(self, n: int) -> int:digit, start, count = 1, 1, 9while n > count: # 1. 确定 n 所在数字的位数, 记为 digitn -= countstart *= 10digit += 1count = 9 * start * digitnum = start + (n - 1) // digit # 2. 确定 n 所在的数字, 记为 numreturn int(str(num)[(n - 1) % digit]) # 3. 确定 n 是 num 中的哪一数位, 并返回结果5.3 解答
# 28ms - 90.64%
class Solution:def findNthDigit(self, n: int) -> int:def count_of_integers(digit):''' 计算 digit 位数共有多少个 '''if digit == 1:return 10return int(math.pow(10, digit-1)) * 9def begin_number(digit):''' 给出 digit 位数的首个数字, 如 0, 10, 100 ...'''if digit == 1:return 0return int(math.pow(10, digit-1))def digit_at_index(index, digit):''' 已知 index 所在数字是 digit 位数, 找出准确的数字 '''number = begin_number(digit) + index / digit# 从右往左的相对位置 / 移动次数index_from_right = digit - index % digit# 从右往左取 number 的目标值for _ in range(1, index_from_right):number /= 10return int(number % 10)# 负数if n < 0:return -1# 位数digits = 1while True:# digits 位数的数字共有 numbers 个numbers = count_of_integers(digits) # digits 位数的数字共占 p 个数的位置p = numbers * digits# 若当前剩余数的位置 n 小于 p, 则 n 就在范围内if n < p:# 找到return digit_at_index(n, digits)n -= pdigits += 1 # 位数 +1return -1
参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/57vzfh/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/57w6b3/
六、剑指 Offer - II. 和为 s 的连续正数序列
6.1 题求
6.2 求解
法一：暴力法
# 276ms - 19.78%
class Solution:def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:if target < 3:return []''' 举例target = 9target array: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9left index: 0 1 2 3 4 5 6 7 8half = target // 2 = 9 // 2 = 4so, left < half, right < half'''half = target // 2 # 起点最多可达的数值left = 0res = []while left < half:# 右指针summ = right = left+1while summ < target: # right 至多到 half (比 left 多 1), 故无需约束right += 1summ += right# 连续正整数序列和满足要求if summ == target:res.append([i for i in range(left+1, right+1)])# 左指针left += 1return res官方说明
# 144ms - 42.56%
class Solution:def findContinuousSequence(self, target: int):if target < 3:return []i, j, res = 1, 2, []while i < j:# 直接根据公式计算右边界 jj = (-1 + (1 + 4 * (2 * target + i * i - i)) ** 0.5) / 2# 若计算结果为整数, 则存在可行的右边界 jif j == int(j):res.append([k for k in range(i, int(j)+1)])# 左边界 i +1i += 1return res
# 88ms - 82.65%
class Solution:def findContinuousSequence(self, target: int) -> List[List[int]]:if target < 3:return []i, j, s, res = 1, 2, 3, []while i < j:if s == target:res.append(list(range(i, j + 1)))if s >= target:s -= ii += 1else:j += 1s += jreturn res6.3 解答
参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/eufzm7/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/eth6p5/
七、剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字 ☆
7.1 题求
7.2 求解
官方说明
# 60ms - 95.16%
class Solution:def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:x = 0 # 恒有：dp[1] = 0for i in range(2, n+1):x = (x + m) % i # 状态转移公式：dp[i] = (dp[i-1] + m) % ireturn x7.3 解答
参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/oxrkot/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/oxp3er/
八、剑指 Offer 66. 构建乘积数组
8.1 题求
8.2 求解
官方说明
# 60ms - 73.32%
class Solution:def constructArr(self, a: List[int]) -> List[int]:b, tmp = [1] * len(a), 1# 下三角for i in range(1, len(a)):b[i] = b[i-1] * a[i-1] # 上三角for i in range(len(a)-2, -1, -1):tmp *= a[i+1] b[i] *= tmp # 下三角 * 上三角return b8.3 解答
参考资料：
《剑指 Offer 第二版》
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/57d8cm/
https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/570i11/
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