线性代数(三十九) :格拉姆-施密特正交化与标准正交基
本节介绍正交的概念,以及将基变为正交基的格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法
1 正交
如果向量x,y满足:
则称x与y正交(orthogonal)或者垂直(perpendicular),记做:
2 标准正交基
设X是具有欧几里得结构的有限维线性空间
是X的一组基,如果他们满足:
则称这组基是标准正交的(orthonormal)
3 格拉姆-施密特方法
具有欧几里得结构的有限维线性空间下的任意一组基:
则存在一组对应的基:
满足:
证明:
利用递归的方法证明,假设已经构造:
令:
因为:
是标准正交基,容易验证若令:
则:
最后可选取c使得:
4 示例
求基底向量组:
的正交基以及标准正交基
这样就得到了空间:
的一组正交基:
以及对应的标准正交基:
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