《二叉平衡树（一）》

【一】二叉搜索树的概念

定义：二叉搜索树又称二叉排序树，他或者就是一棵空树，是具有以下性质的二叉树：

1.若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值。

2.若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值。

3.它的左右子树也分别为二叉搜索树。

从上述概念可以看出，二叉搜索树具有以下特性：

1.二叉搜索树中最右侧的节点是数中最小的节点，最右侧节点一定是树中最大的节点

2.采用中序遍历二叉搜索树，可以得到一个有序的序列。

【二】二叉搜索树的查找

既然称之为二叉搜索树，因此这棵树的最主要的作用就是查询，而其查询原理特别简单，原理是这样的：

在根节点为不为空的情况下：如果根节点key==查找key，返回true

如果根节点key>查找key，在其左子树查找

如果根节点key<查找key，在其右子树查找

如果不符合以上条件，就返回false

插入和删除操作，也都是建立在查找的基础上的，那么二叉搜索树的查找效率是多少呢？

代码如下：

bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;}

【三】二叉树查询性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能，对于n个节点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，那么搜索的次数就是二叉搜索树的深度，就是节点越深，比较的次数越多。

最优的情况下：二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：log2N

最差情况下：二叉搜索树退化为单只树，比较次数为N

这种最差情况遗留的问题就交给了AVL树来解决。

【四】AVL树的概念

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者是接近有序二叉树就会退化为单只树，查找元素相当于在顺序表中查找元素，效率低下，因此俄罗斯两个大佬数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当二叉搜索树插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的节点进行调整）,就可以降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，是具有以下性质的二叉树：

1.它的左右子树都是AVL树

2.左右子树高度之差（简称平很因子）的绝对值不超过（-1/0/1）

如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，他就是AVL树，如果他有n个节点，其高度可以保持在O（log2N），搜索时间复杂度为O(log2N)。

【五】AVL树节点的定义

为了AVL树实现简单，AVL树节点在定义时维护一个平衡因子，具体节点定义如下：

template<class K,class V>struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;//左右子树的高度差int _bf;//初始化参数列表AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv):kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),bf(0){}
};

注意：当前节点的平衡因子=右子树高度-左子树高度，但不是每棵树，都必须有平衡因子，这只是其中的一种实现方式。

【六】AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树，那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1.按照二叉搜索树的方式插入新节点

2.调整节点的平衡因子也就是：

先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中，新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性，pcur插入后，pparent的平衡因子分为三种情况，-1，0，1，分为以下两种情况：

1.如果pcur插入到pparent的左侧，只需要给pparent的平衡因子-1即可

2.如果pcur插入到pparent的右侧，只需要给pparent的平衡因子+1即可

此时：pparent平衡因子就有三种情况，0，正负1，正负2

如果pparent的平衡因子为0，说明插入之前pparent的平衡因子为正负1，插入后被调整为0，此时满足AVL树的性质，插入成功

如果pparent的平衡因子为正负1，说明插入前pparent的平衡因子为正负0，插入后被调整为正负1，此时满足AVL树的高度是增加一，需要继续向上更新。

如果pparent的平衡因子为正负2，则pparent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

cur插入后，parent的平衡因子一定遭到破坏，必须对parent的平衡因子进行调整。

以上就是关于这期的全部内容，如果有问题的话还请于评论区斧正，如果觉得写的还不错的话，还请一件三连，毕竟码字不易。

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