假阴性false negative和假阳性false positive

概念理解

当你真的没有的时候，别人却说你有—假阳性(false positive)
当你真的有的时候，别人却说你没有—假阴性(false negative)
下面表格列出了四种情况，另外两张判断正确的情况分别是：
你真的有，别人也说你有—真阳性（true positive）
你真的没有，别人也说你没有—真阴性(true negative)

所以，我们可以看到true和false其实是：实际情况和判断的是否一致，如果一致的话，就是true；如果不一致的话，就是false；而positive和negative则是针对判断的情况：如果判断是“有”、“存在”等肯定意义的情况，则是positive；如果判断是“没有”、“不存在”等否定意义的情况，则是negative。

举个例子

下面举一个经典的例子：假设美国只有1%的人有过敏这种病，现在进行国民大体检，当检查一个过敏病人时，他有80%的几率被检测出过敏，有20%的几率检测不出过敏。当检查一个正常的人的时候，他有10%的几率被误诊为过敏，有90%的几率检测不出过敏。其实就是下面的这个表：

所以
当一个过敏病人被检测成“不过敏”，这就是假阴性。
当一个正常人被检测成“过敏”，这就是假阳性。
有了上面的概率之后，我们来考虑一下这样的情况，翠花感觉身体不舒服发痒，然后她去做了检测，她被检测成“过敏”，但是我们已经知道了检测是会出现误诊的。所以，我们想知道，在翠花被检测出“过敏”之后，她真的是一个过敏病人的概率是多少？

解法（1）：列数字讲道理法

首先最简单的：列数字讲道理法（哈哈哈）
假设美国一共有1000个人，10001%=10个人是真的过敏，1000-10=990个人是不过敏的。过敏的10个人中，有1080%=8个人会被检测出“过敏”，有1020%=2个人被检测成“不过敏”。不过敏的990个人中，有99010%=99个人会被误诊出“过敏”，有891个人被检测出“不过敏”。所以，我们有了下面的表格：

所以，我们可以看到被检测成“过敏”的总数是107个人，但其中真正是过敏病人的只有8人，所以（8/107）=7%左右，也就是说，在被检测成是“过敏”的人中，只有7%的人是真的有过敏，剩余的93%都是被误诊的。
所以，我们得出结论，当翠花被检测出“过敏”后，她真的是一个过敏病人的概率是7%，震惊！

解法（2）：画树状图法，简称画图法哈哈哈

我们把例子中提到的所有信息整理成一张图：

最后一列，总的概率0.8%+0.2%+9.9%+89.1%=100%
两个“有”的概率是0.8%和9.9%，0.8+9.9=10.7%
但只有0.8%是真的有，所以概率是0.8/10.7=7%。和第一种解法的答案是一样的。

解法（3）：贝叶斯公式（Bayes大法好）

首先祭出贝叶斯公式：

再加上全概率公式：（事件A和事件¬A相加为1，且互斥）

我们得到融合全概率公式的贝叶斯公式：

带入我们这道题中，我们要求的是，翠花在被检测成“过敏”的条件下，她真的是过敏病人的概率。
我们让：
事件A表示：真的是过敏病人
事件B表示：被检测成“过敏”
1、一堆人中，真的是过敏病人的概率是P(A)=1%
2、一堆人中，是正常人的概率是P(¬A)=99%。
3、真的是过敏病人的条件下，被检测成“过敏”的概率P(B│A)是80%。
4、是正常人的情况下，被检测成被检测成“过敏”的概率P(B│¬A)是10%。

我们要解决的问题转换成求P(A│B)，根据上面的贝叶斯公式，我们得到：

可以看到，贝叶斯公式非常简洁明了，还是牛逼。下次我们有时间再写一写贝叶斯公式背后的一些东西。

参考文献

【1】https://www.shuxuele.com/data/probability-false-negatives-positives.html
【2】https://www.shuxuele.com/data/bayes-theorem.html

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