代码更新完毕啦

更新时间
2023-2-18 16:30 问题一、二建模方案、代码、数据、图片
2023-2-19 13:00 问题三、四建模方案、代码、数据、图片

1 题目

2023年MCM 问题C:预测Wordle结果

Wordle是纽约时报目前每天提供的一个流行的谜题。玩家尝试在6次或更少的时间内猜出一个5个字母的单词来解决这个谜题，每猜一次都会收到反馈。在这个版本中，每次猜出的单词必须是一个真实的英语单词。没有被比赛认定为单词的猜测是不允许的。Wordle继续流行，现在有60多种语言的版本。

纽约时报网站directions for Wordle指出，在你提交文字后，瓷砖的颜色将发生变化。黄色的瓦片表示字母在那个瓦片里，但它在错误的位置。绿色瓦片表示该瓦片中的字母在单词中，并且在正确的位置。灰色瓦片表示该瓦片中的字母根本不包含在单词中(见附件2)[2]。图1是一个示例解决方案，在三次尝试中找到了正确的结果。

图1:2022年7月21日[3]Wordle谜题的示例解决方案

玩家可以在常规模式或”困难模式”中玩。《Wordle》的困难模式要求玩家在一个单词中找到一个正确的字母(方块是黄色或绿色)，这些字母必须用于随后的猜测，从而增加了游戏的难度。图1中的示例是在困难模式下播放的。

许多(但不是全部)用户在推特上报告他们的分数。这个问题,MCM生成的一个文件的日常结果1月7日,从2022年12月31日,2022(见附件1),这个文件包含了日期,比赛号码,词的一天,那天报告分数的人数,在困难模式的玩家数量,和猜测这个词的比例在一个尝试,两次,三次,四个尝试5次,六个尝试,或者无法解决的难题(X)。例如,在图2中7月20日,这个词2022年是”陈腐的”，结果是通过挖掘推特获得的。虽然图2中的百分比总和为100%，但在某些情况下，由于四舍五入的原因，这可能并不正确。

图2:2022年7月20日报告结果向推特[4]的分布

要求
《纽约时报》要求您对这个文件中的结果进行分析，以回答几个问题。
（1）报告结果的数量每天都在变化。开发一个模型来解释这一变化，并使用您的模型为2023年3月1日报告的结果数量创建一个预测区间。单词的任何属性是否会影响困难模式下玩家得分的百分比?如果有，是如何影响的?如果不是，为什么不是?

（2）对于一个给定的未来解决方案Word，在未来的日期，开发一个模型，使您能够预测报告结果的分布。换句话说，预测未来日期(1,2,3,4,5,6,X)的相关百分比。你的模型和预测有哪些不确定性?请给出一个具体的例子，说明你对2023年3月1日“EERIE”一词的预测。你对模型的预测有多大信心?

（3）开发并总结一个模型，根据难度对解决方案单词进行分类。识别与每个分类相关的给定单词的属性。使用你的模型，EERIE这个词有多难?讨论你的分类模型的准确性。
（4）列出并描述这个数据集的其他一些有趣的特征。
（5）最后，给《纽约时报》的字谜编辑写一封一到两页的信，总结你的研究结果。
总页数不超过25页的PDF解决方案应包括:

一页汇总表。
目录。
您的完整解决方案。
一封一到两页的求职信。
参考名单。
注意:MCM大赛的篇幅限制为25页。您提交的所有内容(汇总表、目录、报告、参考名单和任何附录)都应在25页的限制范围内。你必须引用你的想法、图像和报告中使用的任何其他材料的来源。

附件
1.数据文件。Problem_C_Data_Wordle.xlsx

2 思路方案分析

2.1 分析数据

（1）第一步了解游戏规则

【爱与私语，一款文字游戏为何风靡美国｜wordle的玩法和故事】 https://www.bilibili.com/video/BV1iu411U7LJ/?share_source=copy_web&vd_source=d2dd5fcbeeeec396792650b25c110a13

（2）第二步，理解提供的excel内容

Date:给定Wordle字谜的日期，格式为mm-dd-yyyy(月日-年)。

Contest number：Wordle谜题的索引，从2022年1月7日的202开始。

Word：单词
Number of reported results：当天记录的总分数。
Number in hard mode：当天在hard模式得分。
1try：玩家一次猜中谜题的百分比。
2tries：玩家两次猜中谜题的百分比。
3tries：玩家三次猜中谜题的百分比。
4tries：玩家在四次猜测中解决谜题的百分比。
5tries：玩家在5次猜测中解决谜题的百分比。
6tries：玩家在6次猜测中解决谜题的百分比。
7 on tries more(X)：在6次或更少的尝试中无法解决谜题的玩家的百分比。

2.2 思路

（1）问题一： 报告结果的数量每天都在变化。开发一个模型来解释这一变化，并使用您的模型为2023年3月1日 Number of reported results创建一个预测区间。单词的任何属性是否会影响困难模式下玩家得分的百分比?如果有，是如何影响的?如果不是，为什么不是?

分析：第一小问，Number of reported results这一列是一个时间序列，创建一个时间序列预测预测模型，采用线性回归或者非线性回归方法来预测3月1号的数据。有一定的误差，将预测结果结合误差设置一个预测区间。

单词的属性有元音和辅音以及字母。将字母数量、元音、辅音编码后分析与7种百分比的分析相关性，可视化相关性，得出结论。

元音字母有5个：A、E、I、O、U；辅音字母有21个：B、C、D、F、G、H、J、K、L、M、N、P、Q、R、S、T、V、W、X、Z、Y

（2）问题二： 对于一个给定的未来解决方案Word，在未来的日期，开发一个模型，使您能够预测报告结果的分布。换句话说，预测未来日期(1,2,3,4,5,6,X)的相关百分比。你的模型和预测有哪些不确定性?请给出一个具体的例子，说明你对2023年3月1日“EERIE”一词的预测。你对模型的预测有多大信心?

分析：针对1-7种尝试，建立7个回归模型，将单词进行编码，并提取特征，采用机器学习的回归模型，进行预测7种情况的百分比。

回归模型以下几种：

线性回归
多项式回归
逐步回归
岭回归
套索回归
弹性回归
分位数回归
贝叶斯线性回归
偏最小二乘回归

题目问有多大信心，就是对回归模型进行评价，回归模型的评价指标有

均方误差（Mean Squared Error，MSE）
观测值与真值偏差的平方和与观测次数的比值：

MSE=1m∑i=1n(yi−yi^2)MSE= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^n (y_i-\hat{y_i}^2) MSE=m1i=1∑n(yi−yi^2)

这就是线性回归中最常用的损失函数，线性回归过程中尽量让该损失函数最小。那么模型之间的对比也可以用它来比较。
MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。

def rmse(y_test, y_true):return sp.mean((y_test - y_true) ** 2)

均方根误差（标准误差）（Root Mean Squard Error，RMSE）
标准差是方差的算术平方根。
标准误差是均方误差的算术平方根。
标准差是用来衡量一组数自身的离散程度，而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差，它们的研究对象和研究目的不同，但是计算过程类似。

RMSE=1m∑i=1n(yi−yi^2)RMSE= \sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^n (y_i-\hat{y_i}^2)} RMSE=m1i=1∑n(yi−yi^2)

它的意义在于开个根号后，误差的结果就与数据是一个级别的，可以更好地来描述数据。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。

python 实现

def rmse(y_test, y_true):return sp.sqrt(sp.mean((y_test - y_true) ** 2))

平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）

平均绝对误差是绝对误差的平均值：

MAE=1m∑i=1n∣yi−yi^∣MAE= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^n |y_i-\hat{y_i}| MAE=m1i=1∑n∣yi−yi^∣

平均绝对误差能更好地反映预测值误差的实际情况.

python 实现如下

def mae(y_test, y_true):return np.sum(np.absolute(y_test - y_true)) / len(y_test)

（3）问题三： 开发并总结一个模型，根据难度对解决方案单词进行分类。识别与每个分类相关的给定单词的属性。使用你的模型，EERIE这个词有多难?讨论你的分类模型的准确性。

分析：对单词进行编码后，采用聚类方法，可以将单词难度分为三类或者更多，如困难、一般、简单。然后对每一类的单词可视化分析，并描述数据得出结论。

聚类算法较多，在论文中可以使用改进的聚类算法

K-Means(K均值)聚类

Python聚类案例代码

# K-Means(K均值)聚类
import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
data = np.random.rand(100, 3) #生成一个随机数据，样本大小为100, 特征数为3#假如我要构造一个聚类数为3的聚类器
estimator = KMeans(n_clusters=3)#构造聚类器
estimator.fit(data)#聚类
label_pred = estimator.labels_ #获取聚类标签
centroids = estimator.cluster_centers_ #获取聚类中心
inertia = estimator.inertia_ # 获取聚类准则的总和

均值漂移聚类

"""聚类 均值漂移算法量化带宽，决定每次调整概率密度函数的步进量
"""
import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp# 加载数据
x = np.loadtxt("./multiple3.txt", delimiter=",")# 量化带宽 quantile 量化宽度
bw = sc.estimate_bandwidth(x, n_samples=len(x), quantile=0.1)
# 均值漂移算法 模型
model = sc.MeanShift(bandwidth=bw, bin_seeding=True)
model.fit(x)centers = model.cluster_centers_
print(centers)# 分类边界数据
n = 500
l, r = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
b, t = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1
grid_x = np.meshgrid(np.linspace(l, r, n),np.linspace(b, t, n))
flat_x = np.column_stack((grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()))
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)
prd_y = model.predict(x)# 绘制结果
mp.figure('MeanShift Cluster', facecolor='lightgray')
mp.title('MeanShift Cluster', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
# 分类边界
mp.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
# 点数据
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=prd_y, cmap="jet", s=80)
# 分类中心点
mp.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], marker='+', c='gold', s=1000, linewidth=3)
mp.show()

基于密度的聚类方法(DBSCAN)

# DBSCAN 算法print(__doc__)import numpy as npfrom sklearn.cluster import DBSCAN
from sklearn import metrics
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# Generate sample data
centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]
X, labels_true = make_blobs(n_samples=750, centers=centers, cluster_std=0.4,random_state=0)X = StandardScaler().fit_transform(X)# Compute DBSCAN
db = DBSCAN(eps=0.1, min_samples=10).fit(X)
core_samples_mask = np.zeros_like(db.labels_, dtype=bool)
core_samples_mask[db.core_sample_indices_] = True
labels = db.labels_# Number of clusters in labels, ignoring noise if present.
n_clusters_ = len(set(labels)) - (1 if -1 in labels else 0)print('Estimated number of clusters: %d' % n_clusters_)
print("Homogeneity: %0.3f" % metrics.homogeneity_score(labels_true, labels))
print("Completeness: %0.3f" % metrics.completeness_score(labels_true, labels))
print("V-measure: %0.3f" % metrics.v_measure_score(labels_true, labels))
print("Adjusted Rand Index: %0.3f"% metrics.adjusted_rand_score(labels_true, labels))
print("Adjusted Mutual Information: %0.3f"% metrics.adjusted_mutual_info_score(labels_true, labels))
print("Silhouette Coefficient: %0.3f"% metrics.silhouette_score(X, labels))#
import matplotlib.pyplot as plt# Black removed and is used for noise instead.
unique_labels = set(labels)
colors = [plt.cm.Spectral(each)for each in np.linspace(0, 1, len(unique_labels))]
for k, col in zip(unique_labels, colors):if k == -1:# Black used for noise.col = [0, 0, 0, 1]class_member_mask = (labels == k)xy = X[class_member_mask & core_samples_mask]plt.plot(xy[:, 0], xy[:, 1], 'o', markerfacecolor=tuple(col),markeredgecolor='k', markersize=14)xy = X[class_member_mask & ~core_samples_mask]plt.plot(xy[:, 0], xy[:, 1], 'o', markerfacecolor=tuple(col),markeredgecolor='k', markersize=6)plt.title('Estimated number of clusters: %d' % n_clusters_)
plt.show()

层级聚类算法

from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering #导入sklearn的层次聚类函数
model = AgglomerativeClustering(n_clusters = k, linkage = 'ward')
model.fit(data) #训练模型
#详细输出原始数据及其类别
r = pd.concat([data, pd.Series(model.labels_, index = data.index)], axis = 1)  #详细输出每个样本对应的类别
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.cluster.hierarchy import linkage,dendrogram
#这里使用scipy的层次聚类函数
Z = linkage(data, method = 'ward', metric = 'euclidean') #谱系聚类图
P = dendrogram(Z, 0) #画谱系聚类图
plt.show()

用高斯混合模型（GMM）的最大期望（EM）聚类
图团体检测(Graph Community Detection)

（4）问题四： 列出并描述这个数据集的其他一些有趣的特征。

对数据集的Number of reported results：当天记录的总分数、Number in hard mode：当天在hard模式得分、Tries进行可视化分析，以朱庄头、饼状图、散点图等方式进行可视化分析，得出结论。

3 python实现

# 待更新，代码获取，浏览器输入:  betterbench.top/#/40/detail

获取方式：betterbench.top/#/40/detail

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