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一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

　　最近在看深度学习的东西，一开始看的吴恩达的UFLDL教程，有中文版就直接看了，后来发现有些地方总是不是很明确，又去看英文版，然后又找了些资料看，才发现，中文版的译者在翻译的时候会对省略的公式推导过程进行补充，但是补充的又是错的，难怪觉得有问题。反向传播法其实是神经网络的基础了，但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题，或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了，其实不难，就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式，可以直接把数值带进去，实际的计算一下，体会一下这个过程之后再来推导公式，这样就会觉得很容易了。

　　说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：

　　这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,...,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,...,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。

　　本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础）

　　假设，你有这样一个网络层：

　　第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

　　现在对他们赋上初值，如下图：

　　其中，输入数据 i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　 w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

　　目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

　　Step 1 前向传播

　　1.输入层---->隐含层：

　　计算神经元h1的输入加权和：

神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

　　同理，可计算出神经元h2的输出o2：

　　2.隐含层---->输出层：

　　计算输出层神经元o1和o2的值：

这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差：(square error)

但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：

2.隐含层---->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

现在我们来分别计算每个式子的值：

计算：

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）

计算：

最后三者相乘：

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。

回过头来再看看上面的公式，我们发现：

为了表达方便，用来表示输出层的误差：

因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：

最后我们来更新w5的值：

（其中，是学习速率，这里我们取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

3.隐含层---->隐含层的权值更新：

　方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

计算：

先计算：

同理，计算出：

两者相加得到总值：

再计算：

最后，三者相乘：

为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：

最后，更新w1的权值：

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

　　这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。

代码(Python):

  1 #coding:utf-82 import random3 import math4 5 #6 #   参数解释：7 #   "pd_" ：偏导的前缀8 #   "d_" ：导数的前缀9 #   "w_ho" ：隐含层到输出层的权重系数索引10 #   "w_ih" ：输入层到隐含层的权重系数的索引11 12 class NeuralNetwork:13     LEARNING_RATE = 0.514 15     def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):16         self.num_inputs = num_inputs17 18         self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)19         self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)20 21         self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)22         self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)23 24     def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):25         weight_num = 026         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):27             for i in range(self.num_inputs):28                 if not hidden_layer_weights:29                     self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())30                 else:31                     self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])32                 weight_num += 133 34     def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):35         weight_num = 036         for o in range(len(self.output_layer.neurons)):37             for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):38                 if not output_layer_weights:39                     self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())40                 else:41                     self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])42                 weight_num += 143 44     def inspect(self):45         print('------')46         print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))47         print('------')48         print('Hidden Layer')49         self.hidden_layer.inspect()50         print('------')51         print('* Output Layer')52         self.output_layer.inspect()53         print('------')54 55     def feed_forward(self, inputs):56         hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)57         return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)58 59     def train(self, training_inputs, training_outputs):60         self.feed_forward(training_inputs)61 62         # 1. 输出神经元的值63         pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)64         for o in range(len(self.output_layer.neurons)):65 66             # ∂E/∂zⱼ67             pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])68 69         # 2. 隐含层神经元的值70         pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)71         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):72 73             # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ74             d_error_wrt_hidden_neuron_output = 075             for o in range(len(self.output_layer.neurons)):76                 d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]77 78             # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂79             pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()80 81         # 3. 更新输出层权重系数82         for o in range(len(self.output_layer.neurons)):83             for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):84 85                 # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ86                 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)87 88                 # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ89                 self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight90 91         # 4. 更新隐含层的权重系数92         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):93             for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):94 95                 # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ96                 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)97 98                 # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ99                 self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
100
101     def calculate_total_error(self, training_sets):
102         total_error = 0
103         for t in range(len(training_sets)):
104             training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
105             self.feed_forward(training_inputs)
106             for o in range(len(training_outputs)):
107                 total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
108         return total_error
109
110 class NeuronLayer:
111     def __init__(self, num_neurons, bias):
112
113         # 同一层的神经元共享一个截距项b
114         self.bias = bias if bias else random.random()
115
116         self.neurons = []
117         for i in range(num_neurons):
118             self.neurons.append(Neuron(self.bias))
119
120     def inspect(self):
121         print('Neurons:', len(self.neurons))
122         for n in range(len(self.neurons)):
123             print(' Neuron', n)
124             for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
125                 print('  Weight:', self.neurons[n].weights[w])
126             print('  Bias:', self.bias)
127
128     def feed_forward(self, inputs):
129         outputs = []
130         for neuron in self.neurons:
131             outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
132         return outputs
133
134     def get_outputs(self):
135         outputs = []
136         for neuron in self.neurons:
137             outputs.append(neuron.output)
138         return outputs
139
140 class Neuron:
141     def __init__(self, bias):
142         self.bias = bias
143         self.weights = []
144
145     def calculate_output(self, inputs):
146         self.inputs = inputs
147         self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
148         return self.output
149
150     def calculate_total_net_input(self):
151         total = 0
152         for i in range(len(self.inputs)):
153             total += self.inputs[i] * self.weights[i]
154         return total + self.bias
155
156     # 激活函数sigmoid
157     def squash(self, total_net_input):
158         return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))
159
160
161     def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
162         return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();
163
164     # 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的
165     def calculate_error(self, target_output):
166         return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2
167
168
169     def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
170         return -(target_output - self.output)
171
172
173     def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
174         return self.output * (1 - self.output)
175
176
177     def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
178         return self.inputs[index]
179
180
181 # 文中的例子:
182
183 nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)
184 for i in range(10000):
185     nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
186     print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))
187
188
189 #另外一个例子，可以把上面的例子注释掉再运行一下:
190
191 # training_sets = [
192 #     [[0, 0], [0]],
193 #     [[0, 1], [1]],
194 #     [[1, 0], [1]],
195 #     [[1, 1], [0]]
196 # ]
197
198 # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
199 # for i in range(10000):
200 #     training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
201 #     nn.train(training_inputs, training_outputs)
202 #     print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

　　最后写到这里就结束了，现在还不会用latex编辑数学公式，本来都直接想写在草稿纸上然后扫描了传上来，但是觉得太影响阅读体验了。以后会用公式编辑器后再重把公式重新编辑一遍。稳重使用的是sigmoid激活函数，实际还有几种不同的激活函数可以选择，具体的可以参考文献[3]，最后推荐一个在线演示神经网络变化的网址：http://www.emergentmind.com/neural-network，可以自己填输入输出，然后观看每一次迭代权值的变化，很好玩~如果有错误的或者不懂的欢迎留言：）

参考文献：

1.Poll的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础（http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html#3457159 ）

2.Rachel_Zhang:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797

3.http://www.cedar.buffalo.edu/%7Esrihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

4.https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/

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作者：Charlotte77

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