本文的主线是告诉你什么是集合的基数

本文继承上文的 序数，良序相关知识 。

良序定理

在说到集合的基数之前，请先耐心地来看看这个看起来有点反直觉的定理。因为正式这个定理的存在，才保证了任何集合都能有一个基数。这个定理就是Zermelo良序定理

Zermelo 良序定理：任何集合S都能被赋予良序

这个定理的证明看上去很trivial，书上是这么说的：选取

, 由选择公理，可以在S中一直选取元素，设

, 那么

因S是集合，必能取极小的序数

使得

, 而S与

之间显然有双射，于是导出S上的良序。

别看说得这么复杂，其实说人话就是，我有个集合S，那我就在S里面不重复地选择元素，那只要这个集合S没有选完，那这个过程总是能进行下去的。那我再把选择的元素排开，就能与序数做一个对应。

仔细想想这个良序定理的证明就跟讲废话一样，证明就用到一个集合论的选择公理呀？！如果你这么想了，那说明你看到了这个定理的真谛，这个定理其实就是ZFC选择公理是等价的。

等势

其实基数的想法很简单，就是给一个序数，描述一个集合的“大小”。那么说集合的大小，直观来说，就是元素的“个数”。那么怎么度量几个集合，比如说很抽象的实数集，有理数集，整数集，的元素“个数”是否相等呢？用的就是集合的势这个概念。

定义，等势：若集合X, Y之间存在双射

，则称X，Y等势

等势构成了集合间的等价关系，集合X的等势类记作|X|。若存在单射

则记作

.

这个说起来也很简单，就是如果两个集合有双射，就说这俩集合大小相等。也就是所谓的等势。显然，这个小于等于的关系是一种偏序。

基数

现在我们的想法是这样，如果几个集合互相之间等势，那么我就选一个特殊的集合，这个集合与原来那几个集合也都等势，然后我们就用这个集合来作为集合势的“标尺”。而序数，就是最直观的那根标尺。我们在集合和序数之间建立双射，然后用序数来标定这个集合的大小，这就是基数的想法。

但问题是，不是所有序数都有资格当基数的。比如有理数集和整数集，这俩集合之间等势，但这俩集合对应的序数显然不一样。所以有理数集和整数集所对应的序数就至少有一个不适合当基数，因为基数是集合势的标尺，一个基数需要能唯一标定一个等势类，而这俩序数相同而但却是等势的。

定义，基数：序数

称为基数，若对任意序数

都有

注意，这里的<是我们上文所指的那个小于，而不是通常意义上的数的小于。另外这个定义的意义前文也说明了，最典型的例子就是整数集所对应的序数是基数，而有理数集对应的序数不是。

显然，等势类在上述这个偏序的定义上，是有完全序的。详细的数学语言就不写了。

在这个问题上，最著名的问题就是连续统问题。如果我们令整数对应的基数为

，我们可以证明，实数集所对应的基数为

. 那么问题就是，这个

是不是

所对应的下一个基数？很长一段时间，人们试图去证明或者证伪它。而后来有一个叫做哥德尔的人跳出来说，这个问题既不可证明也不可证伪。

典范良序

典范良序：真类

上存在良序

使得对每个序数

皆有

, 称作

上的典范良序

这里解释一下

是什么意思，这个符号表面的是，

中，能构建一个大小关系

, 使得对任意小于

的所有元素构成的集合，能够对应良序

为什么说这中的良序是“典范”的呢？其实也很好想，你想象把一个m x m阶的矩阵，这个矩阵的元素个数就是

。而这

个元素能按照大小一字排开的话，那么这个矩阵元素构成的集合就对应着

这个序数。

推论：对任意非0基数

设其一无穷， 则 （1）

(2) 若

则

这个定理给出了基数的一个运算法则。至此，基数相关的一些内容就介绍完毕了.