POJ - 2449 Remmarguts' Date(第k短路:spfa+A*)

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题目大意：给出一个有向图，求第k短路

题目分析：偷学了一波A*，本来以为是多难的算法，其实就是bfs+优先队列的升级版，之前看的那些博客写的都太深奥了，以至于看了一半啥都没看懂然后就被吓跑了，这里放一波zx学长PPT上的描述，我感觉简洁精炼，几句话就把这个算法的核心描述清楚了：

A * 算法的实现，A * =优先队列BFS+估价函数。

回顾优先队列bfs：优先队列BFS算法维护了一个优先队列，不断从堆中取出当前代价最小的状态进行扩展。每个状态第一次从堆中取出时，就得到了从初态到该状态的最小代价。

局限：如果给定一个目标状态，需要求出从初态到目标状态的最小代价，那么优先队列BFS这个优先策略是不完善的。一个状态当前代价小，只能说明从起始状态到该状态代价小，而在未来的搜索中从该状态到目标状态的花费可能会很大。导致有一部分很晚才能得到扩展。

为了提高搜索效率，我们很自然的想到，可以对未来可能产生的代价进行预估。

详细的讲：我们设计一个估价函数，以任意状态为输入，计算出从该状态到目标状态所需代价的估计值。在搜索中，仍然维护一个堆，不断从堆中取出 当前代价+未来估价 最小的状态进行扩展

为了保证第一次从堆中取出目标状态时得到的就是最优解，我们设计的估价函数需要满足一个基本准则：估价函数的估值不能大于未来实际代价，估价比实际代价更优。

这种带有估价函数的优先队列BFS就称为A * 算法。只要保证对于任意状态state，都有f（state）≤g（state），A * 算法就一定能在目标状态第一次从堆中被取出时得到最优解，并且在搜索过程中每个状态只需要被扩展一次（之后再被取出就可以直接忽略）。估价f（state）越准确，越接近g（state），A * 算法的效率就越高。如果估价始终为0，就等价于普通优先队列BFS。

A * 算法提高搜索效率的关键，就在于能否设计出一个优秀的估价函数。估价函数在满足上述设计准则的前提下，含应该尽可能反映未来实际代价的变化趋势和相对大小关系，这样搜索才会较快的逼近最优解

估价函数的设计准则：

估值f（state）≤未来实际代价g（state）

那么再回到这个题目上面，我们只需要设计出估价函数即可，这个题目的权值是距离，当我们到达一个点后，利用bfs的状态转移可以很容易的知道从起点到当前点的距离，那怎么知道当前点到终点的距离呢？我们可以一开始从终点跑一遍迪杰斯特拉或者spfa，这样就能轻松表达出估价函数了，有了估价函数后，我们在优先队列+bfs的基础上，更改排序函数的机制为估价函数，然后给我们的bfs函数改个名字，就变成A*算法了

有一个坑点需要注意一下，当终点和起点重合的时候，我们需要让k++，以避免出现让起点直接到达终点的现象发生

代码，模板题：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e3+100;int d[N];bool vis[N];struct Node
{int to,w;Node(int TO,int W){to=TO;w=W;}Node(){}bool operator<(const Node& a)const{return w+d[to]>a.w+d[a.to];}
};vector<Node>node1[N],node2[N];//1:正向边 2:反向边 void spfa(int x)
{memset(vis,false,sizeof(vis));memset(d,inf,sizeof(d));queue<int>q;q.push(x);d[x]=0;vis[x]=true;while(!q.empty()){int from=q.front();q.pop();vis[from]=false;for(int i=0;i<node2[from].size();i++){int to=node2[from][i].to;int w=node2[from][i].w;if(d[to]>d[from]+w){d[to]=d[from]+w;if(!vis[to]){vis[to]=true;q.push(to);}}}}
}int A_star(int start,int end,int k)
{priority_queue<Node>q;q.push(Node(start,0));while(!q.empty()){Node cur=q.top();q.pop();if(cur.to==end){k--;if(!k)return cur.w;}for(int i=0;i<node1[cur.to].size();i++){int to=node1[cur.to][i].to;int w=node1[cur.to][i].w;q.push(Node(to,cur.w+w));}}return -1;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++){node1[i].clear();node2[i].clear();}while(m--){int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);node1[u].push_back(Node(v,w));node2[v].push_back(Node(u,w));}int s,e,k;scanf("%d%d%d",&s,&e,&k);spfa(e);if(d[s]==inf){printf("-1\n");continue;}if(s==e)//特判一下，坑 k++;printf("%d\n",A_star(s,e,k));}return 0;
}

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