简介

在字符串的题目中，有时会遇上 回文串 这样一个名词
顾名思义，回文串就是 正读和反读都一样的字符串
而 最长回文子串 ，就是在一个字符串的所有子串中，是回文串且长度最长的那个
求最长回文子串最普通的方法是 O(N2)O(N^2) ，即枚举一个点往两边扩展
但是在有些题目中，N 却十分的大
那么我们就要用到时间空间复杂度都是 O(N)O(N) 的 Manacher 算法

用法

在处理回文串时，我们常常会被 中间字符是一个还是两个 这样的问题困扰
但是在机智的 Manacher 算法 中，这个问题得到了完美的解决
在每两个字符中间插入一个不会出现的分隔符（如：#）
之后在头尾插入一个还是没有出现的分隔符（如：*）来防止 While 出界
这样处理起来就方便很多了！
设读入的字符串为 s[i]s[i] ，
记录 p[i]p[i] 表示以 s[i]s[i] 为中心往两边扩展的最大长度
观察可知，实际的回文串长度即为当前的 p[i]−1p[i]-1
再记录一个数 idid ， p[id]+idp[id]+id表示在 ii 位置前所有回文串中能延伸到的最右端的位置
如下图：

算法核心就是：
if(p[id]+id>i)if(p[id]+id>i) p[i]=min(p[id∗2−i],p[id]+id−i);p[i]=min(p[id*2-i],p[id]+id-i); elseelse p[i]=1;p[i]=1;
当之前所有回文串中能延伸到的最右端覆盖过 ii 时，则取最小值，否则 p[i]=1p[i]=1 ，及自己本身
这样不断维护 p[i]p[i] 和 idid ，就能在 O(N)O(N) 内求出 最长回文子串 了！
至于为什么时间是线性的，由于最有端 p[id]+idp[id]+id 最多只能移动 N 次，
有效移动的操作就严格线性啦！！
下面附上模板：

void Manacher()
{scanf("%s",s);int len=strlen(s);for(int i=len;i>=0;i--){int k=i*2+1;s[k+1]=s[i],s[k]='#';}//插入分隔符len*=2;s[ans=id=0]='*';for(int i=2;i<=len;i++){if(p[id]+id>i) p[i]=min(p[id*2-i],p[id]+id-i); else p[i]=1;while(s[i-p[i]]==s[i+p[i]]) p[i]++;if(p[i]+i>p[id]+id) id=i;if(p[i]>ans) ans=p[i];}//处理、计算
}

注释：s[i]，p[i]，ids[i]，p[i]，id 如题意义，ansans 表示最长回文子串的长度，而 lenlen 是原串长度

总结

这个 Manacher 算法效率极高，时间空间都是 O(N)O(N) 线性的
再者代码极短，所以使用起来十分方便，应多多使用！！！

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