欧拉回路

欧拉图: 就是从任意一个点开始都可以一笔画完整个图
半欧拉图: 必须从某个点开始才能一笔画完整个图。

对于无向图 ，是欧拉图当且仅当是连通的且没有奇度顶点。

对于无向图 ，是半欧拉图当且仅当是连通的且中恰有个或个奇度顶点。

对于有向图 ，是欧拉图当且仅当的所有顶点属于同一个强连通分量且每个顶点的入度和出度相同。

对于有向图 ，是半欧拉图当且仅当
如果将有向图中的所有有向边退化为无向边时，那么所有顶点属于同一个连通分量。
最多只有一个顶点的出度与入度差为。
最多只有一个顶点的入度与出度差为。
所有其他顶点的入度和出度相同。

Fleury

一个偏暴力的算法，应用范围更广，但是复杂度高，暂时用不到，以后再学。

Hierholzer（逐步插入回路法）

先记录每个点的度，判断是否存在欧拉回路或者路
从一个指定起点出发，不断的走与其相邻的边，走过的边就删掉，回溯时碰到出入度为0的点就将其加入答案队列，显然答案是逆序加入的，所以要从队尾开始输出。

该算法，有回路给出回路，没回路给出路，都没有则结束
参考他的手推递归树方便理解

以一道例题给出模板
P2731 [USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

/*
Hierholzer
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1025;
multiset<int> to[maxn]; // 要使输出的路径尽可能小，利用multiset的排序
int degree[maxn];
int road[maxn], cnt; // 记录路径及路径长度
void dfs(int x) {for(auto a = to[x].begin(); a != to[x].end(); a=to[x].begin()) { // auto C++11标准，可以自动匹配数据类型 int u = *a;to[x].erase(a);to[u].erase(to[u].find(x)); // 删边dfs(u); }road[cnt++] = x; // 往队列里插答案
} int main() {int m, a, b;scanf("%d", &m);for(int i = 0; i < m; i++) {scanf("%d%d", &a, &b);degree[a]++, degree[b]++; // 记录点的度 to[a].insert(b); // 建边 to[b].insert(a); // 双向边 }int s = -1, e = -1; // 起点与终点 for(int i = 1; i <= 1024; i++) {// 判断每个点的度数 if(degree[i]&1) { // 奇度顶点 if(s == -1) s = i; // 一个作为起点 else if(e == -1) e = i; // 一个作为终点 else exit(1); // 如果奇度顶点 >= 3 没有欧拉路 // 退出整个程序，终止进程，并返回1给操作系统。// 由于返回0代表程序正常退出，返回1等其他数字通常代表异常终止。可通过返回的具体数值判断出错源。} }if(s == -1) s = 1; // 全是偶度顶点则直接从 开始答案最小 dfs(s);for(int i = cnt-1; i >= 0; i--) { // 倒叙输出为答案 printf("%d\n", road[i]);} return 0;
}

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