解题报告：CF1307D Cow and Fields(最短路、最优解不等式化简)

CF1307D Cow and Fields

整张无向图的边权为1。

首先求出 1,n1,n1,n 两个点的单源最短路径。这 kkk 个特殊点中，我们令第 aaa 个特殊点到 111 的距离为 xax_axa，到 nnn 的距离为yay_aya。设答案是连接 a,ba,ba,b 两点。

我们的目的就是最大化min（xa+yb+1，ya+xb+1)min（x_{a} + y_{b} + 1，y_{a} + x_{b} +1)min（xa+yb+1，ya+xb+1)
为了不失一般性，我们设
xa+yb≤ya+xb。x_{a} +y_{b}≤y_{a}+ x_{b}。xa+yb≤ya+xb。
我们可以化简成（分离变量，因为我们必须是同一个 aaa 才能排序）
xa−ya≤xb−ybx_{a}-y_{a}≤x_{b}-y_{b}xa−ya≤xb−yb
我们按照xa−yax_{a}-y_{a}xa−ya来排序，这样排完序之后的 aaa 和 bbb就拥有了一个性质：a<ba<ba<b（ aaa 一定在 bbb 的前面）
因此我们倒序处理Max[i]数组，表示的是 iii 右边（包括自己）最大的 yiy_iyi。

然后我们正序求当前结点 aaa 的 xa+yb+1x_a + y_b + 1xa+yb+1(只能和右边 bbb 的匹配) 的最大值即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;const int N = 510007, M = 510007, INF = 0x3f3f3f3f;
int t;
int n,m,k;
int dist[N];
bool vis[N];
int ver[M],nex[M],edge[M],head[N],tot;
int cnt;
int a[N],b[N];
int maxx,minn;
map<int,int>mp;int Max[N];
int dis1[N],disn[N];void add(int x,int y,int z){ver[tot] = y;nex[tot] = head[x];edge[tot] = z;head[x] = tot ++ ;
}struct node{int dis1,disn;bool operator<(const node &t)const{return dis1 - disn < t.dis1 - t.disn;}
}pos[N];priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> >q;void Dijkstra(int S){memset(dist,0x3f,sizeof dist);memset(vis,0,sizeof vis);dist[S] = 0;q.push({dist[S],S});while(q.size()){int x = q.top().second;q.pop();if(vis[x])continue;vis[x] = true;for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(dist[y] > dist[x] + z){dist[y] = dist[x] + z;q.push({dist[y],y});}}}
}int main(){memset(head,-1,sizeof head);scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i = 1;i <= k;++i)scanf("%d",&a[i]);for(int i = 1;i <= m;++i){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y,1);add(y,x,1);}Dijkstra(1);for(int i = 1;i <= n;++i)dis1[i] = dist[i];Dijkstra(n);for(int i = 1;i <= n;++i)disn[i] = dist[i];for(int i = 1;i <= k;++i)pos[i] = {dis1[a[i]],disn[a[i]]};sort(pos + 1,pos + 1 + k);int ans = 0;for(int i = k;i;--i)Max[i] = max(Max[i + 1],pos[i].disn);for(int i = 1;i < k;++i)ans = max(ans,pos[i].dis1 + Max[i + 1] + 1);ans = min(ans,dis1[n]);printf("%d\n",ans);return 0;
}

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