codevs 1105 过河
1105 过河
2005年NOIP全国联赛提高组
在河上有一座独木桥,一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子,青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数,我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点:0,1,……,L(其中L是桥的长度)。坐标为0的点表示桥的起点,坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始,不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数(包括S,T)。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时,就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L,青蛙跳跃的距离范围S,T,桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河,最少需要踩到的石子数。
输入第一行有一个正整数L(1<=L<=109),表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S,T,M,分别表示青蛙一次跳跃的最小距离,最大距离,及桥上石子的个数,其中1<=S<=T<=10,1<=M<=100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置(数据保证桥的起点和终点处没有石子)。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
输出只包括一个整数,表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
10
2 3 5
2 3 5 6 7
2
数据规模
对于30%的数据,L<=10000;
对于全部的数据,L<=109。
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题解:
①对于任一位置x , 只能由前面[x-t , x-s]这个范围的位置跳过来,因此只要先求出这些位置踩的石子数,找个最少的位置跳过来就ok。因此很容易想到动态转移方程:
f[x]=min(f[x-j])+stone[x] ( j∈[s , t])
f[x]表示从桥头跳到x处需踩的最少石子数,stone[x]表示x处是否是石头(1表示是,0表示否)。
②桥长可达10亿,即状态数可达10亿。很显然,数组是不能开到这么大的,怎么办?由此我们想到,能否将状态数减少,又不影响结果呢?通过观察,题目中的石子数最多只有100,如果把这些石子数放到长度为10亿单位的桥上,那是多么的稀疏呀,这就为我们提供了可能。
怎么样压缩?压缩后两个石子间距离保留多长才不影响结果呢?
设第k个石子座标为x,第k-1个石子和第k个石子间距离足够大,则青蛙从两个石子间跳到第k个石子及之后的位置有:x、x+1、x+2、x+3……x+t-1。如果我们能保证,将石子k-1和石子k之间的距离缩短(即减少状态)后,青蛙依然能跳到这些位置,则可以平移。而这一点我们可以通过在两个石子间保留1个最小公倍数单位长度得到保证。
③注意特殊情况:当s=t时,只需考查石子是否是s的倍数即可。这种情况单独考查。
AC代码:
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e5; const int M=110; int L,s,t,m,a[N],f[N];//f[i]表示青蛙跳到位置i最少踏的石子数 bool stone[N];//stone[x]表示位置x是否是石子,0表示不是,1表示是 void solve(){int d=0,k=s*t;for(int i=1,x;i<=m+1;i++){x=a[i]-d-a[i-1]; //x表示第i个石子和第i-1个石子的距离if(x>k) d+=x-k;//超过公倍数部分用作平移 a[i]-=d;stone[a[i]]=1;//标记平移后位置是石子 }stone[a[m+1]]=0;//桥尾不是石子 f[0]=0;for(int i=1;i<a[m+1]+t;i++){//考查桥上到桥尾的所有位置 f[i]=1e9;for(int j=s;j<=t;j++){ //在i的前一个位置中找一个经历石子最少的if(i>=j) f[i]=min(f[i],f[i-j]);//注意判断i>=j }f[i]+=stone[i];}int ans=1e9;for(int i=a[m+1];i<a[m+1]+t;i++) ans=min(ans,f[i]);//在跳过桥后所有位置中找一个最小值 printf("%d\n",ans); } int main(){scanf("%d%d%d%d",&L,&s,&t,&m);for(int i=1,x;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+m+1); //对桥中间石子位置排序,这步必须要有 a[0]=0;a[m+1]=L;if(s==t){//这种情况只需考查石子是否是石子的倍数即可 int ans=0;for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i]%s==0) ans++;printf("%d\n",ans);}else solve();return 0; }
ps:输出3 6 10各得20分。
转载于:https://www.cnblogs.com/shenben/p/5859048.html
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