牛客挑战赛51 E NIT的gcd（欧拉反演，建图优化，三元环计数）

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

Problem

给你一个正整数 nnn。

请你输出 ∑i=1n∑j=1n∑k=1ngcd⁡(i,j)gcd⁡(i,k)gcd⁡(j,k)\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n \gcd(i,j)\gcd(i,k)\gcd(j,k)i=1∑nj=1∑nk=1∑ngcd(i,j)gcd(i,k)gcd(j,k) 的值，对 998244353998244353998244353 取模。

Solution

首先进行经典欧拉反演：

φ∗1=id⇒n=∑d∣nφ(d)\begin{aligned}\varphi*1&=id\Rightarrow n=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}φ∗1=id⇒n=d∣n∑φ(d)

gcd⁡(i,j)=∑d∣gcd(i,j)φ(d)=∑d∣i∑d∣jφ(d)\begin{aligned}\gcd(i,j)&=\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)\\&=\sum_{d|i}\sum_{d|j}\varphi(d)\end{aligned}gcd(i,j)=d∣gcd(i,j)∑φ(d)=d∣i∑d∣j∑φ(d)

ans=∑i=1n∑j=1n∑k=1ngcd⁡(i,j)gcd⁡(i,k)gcd⁡(j,k)=∑i=1n∑j=1n∑k=1n∑T1∣i,T1∣jφ(T1)∑T2∣i,T2∣kφ(T2)∑T3∣j,T3∣kφ(T3)=∑T1=1nφ(T1)∑T2=1nφ(T2)∑T3=1nφ(T3)∑T1∣i,T2∣in1∑T1∣j,T3∣jn1∑T2∣k,T3∣kn1=∑T1=1nφ(T1)∑T2=1nφ(T2)∑T3=1nφ(T3)⌊nlcm(T1,T2)⌋⌊nlcm(T1,T3)⌋⌊nlcm(T2,T3)⌋\begin{aligned}ans&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n \gcd(i,j)\gcd(i,k)\gcd(j,k)&\\&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{T_1|i,T_1|j}\varphi(T_1)\sum\limits_{T_2|i,T_2|k}\varphi(T_2)\sum\limits_{T_3|j,T_3|k}\varphi (T_3)&\\& =\sum\limits_{T_1=1}^n\varphi(T_1)\sum\limits_{T_2=1}^n\varphi(T_2)\sum\limits_{T_3=1}^n\varphi(T_3)\sum\limits_{T_1|i,T_2|i}^n1\sum\limits_{T_1|j,T_3|j}^n1\sum\limits_{T_2|k,T_3|k}^n1&\\&=\sum\limits_{T_1=1}^n\varphi(T_1)\sum\limits_{T_2=1}^n\varphi(T_2)\sum\limits_{T_3=1}^n\varphi(T_3)\lfloor\frac{n}{\text{lcm}(T_1,T_2)}\rfloor\lfloor\frac{n}{\text{lcm}(T_1,T_3)}\rfloor\lfloor\frac{n}{\text{lcm}(T_2,T_3)}\rfloor\end{aligned}ans=i=1∑nj=1∑nk=1∑ngcd(i,j)gcd(i,k)gcd(j,k)=i=1∑nj=1∑nk=1∑nT1∣i,T1∣j∑φ(T1)T2∣i,T2∣k∑φ(T2)T3∣j,T3∣k∑φ(T3)=T1=1∑nφ(T1)T2=1∑nφ(T2)T3=1∑nφ(T3)T1∣i,T2∣i∑n1T1∣j,T3∣j∑n1T2∣k,T3∣k∑n1=T1=1∑nφ(T1)T2=1∑nφ(T2)T3=1∑nφ(T3)⌊lcm(T1,T2)n⌋⌊lcm(T1,T3)n⌋⌊lcm(T2,T3)n⌋

然后利用这个科技 P4619 [SDOI2018]旧试题（莫比乌斯反演，建图优化三重枚举，三元环计数，神仙好题，超级清晰易懂）

预处理一下 ⌊nlcm(T2,T3)⌋\lfloor\dfrac{n}{\text{lcm}(T_2,T_3)}\rfloor⌊lcm(T2,T3)n⌋，就可以以 O(nlog⁡3n+mm)O(n\log ^3n+m\sqrt{m})O(nlog3n+mm) 的复杂度计算上述三重和式的解。

Code

// Problem: NIT的gcd
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11191/E
// Memory Limit: 1048576 MB
// Time Limit: 6000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
using ll = long long;
const int N = 5e6 + 7, mod = 998244353, INF = 0x3f3f3f3f;template <typename T> inline void read(T& t) {int f = 0, c = getchar(); t = 0;while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();while (isdigit(c)) t = t * 10 + c - 48, c = getchar();if (f) t = -t;
}template <typename T> void print(T x) {if (x < 0) x = -x, putchar('-');if (x > 9) print(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
}int n, m, k, t;
int phi[N], primes[N], cnt;
int vis[N], val[N];
int A, B, C;
int minn = INF, maxx;
int edge_cnt;
vector<ll> F[N], G[N];struct Edge
{int u, v, w;
}edge[N];int deg[N];void sieve(int n)
{phi[1] = 1;vis[1] = 1;for( int i = 2; i <= n; ++ i) {if(vis[i] == 0) {primes[ ++ cnt] = i;phi[i] = i - 1;}for( int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {vis[i * primes[j]] = 1;if(i % primes[j] == 0) {phi[i * primes[j]] = 1ll * phi[i] * primes[j] % mod;break;}phi[i * primes[j]] = 1ll * phi[i] * (primes[j] - 1) % mod;}}
}int gcd(int a, int b)
{if(b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}int lcm(int a, int b)
{return 1ll * a / gcd(a, b) * b % mod;
}int f(int a, int b)
{return 1ll * n / lcm(a, b) % mod;
}void init()
{for( int i = 1; i <= maxx; ++ i)deg[i] = 0, G[i].clear();minn = INF;maxx = -INF;edge_cnt = 0;
}void solve()
{init();read(A);n = A;maxx = A;minn = A;ll ans = 0;//三个数都相同for( int i = 1; i <= minn; ++ i) {ans = (ans + 1ll * phi[i] * phi[i] % mod * phi[i] % mod * f(i, i) % mod * f(i, i) % mod * f(i, i) % mod) % mod;}//建图，顺便把有两个数相同情况的贡献算一下for( int x = 1; x <= maxx; ++ x) {for( int k1 = 1; 1ll * k1 * x <= maxx; ++ k1) { for( int k2 = k1 + 1; 1ll * k1 * k2 * x <= maxx; ++ k2) {if(gcd(k1, k2) == 1) {int u = k1 * x;int v = k2 * x;int uuv = 1ll * phi[u] * phi[u] % mod * phi[v] % mod;int uvv = 1ll * phi[u] * phi[v] % mod * phi[v] % mod;ans = (ans + 1ll * uuv * 3 * (f(u, u) % mod * f(u, v) % mod * f(v, u) % mod)) % mod;ans = (ans + 1ll * uvv * 3 * (f(v, v) % mod * f(v, u) * f(u, v) % mod)) % mod;deg[u] ++ ;deg[v] ++ ;++ edge_cnt;edge[edge_cnt].u = u;edge[edge_cnt].v = v;}} }}//均不相同的for( int i = 1; i <= edge_cnt; ++ i) {int u = edge[i].u, v = edge[i].v;if(deg[u] < deg[v] || (deg[u] == deg[v] && u > v)) swap(u, v);G[u].push_back(v);}for(int i = 1; i <= maxx; ++ i) {F[i].resize(G[i].size());for(int j = 0; j < G[i].size(); ++ j) {F[i][j] = f(i, G[i][j]);}}for( int x = 1; x <= maxx; ++ x) {for(auto i : G[x])vis[i] = x, val[i] = f(x, i);for(auto i : G[x]) {int y = i;for(int j = 0; j < G[y].size(); ++ j) {int z = G[y][j];if(vis[z] == x) {int phixyz = 1ll * phi[x] * phi[y] * phi[z] % mod;ans = (ans + 1ll * phixyz * 6 * (val[y] * val[z] * F[y][j] % mod)) %mod; }} }}print(ans);puts("");
}signed main()
{sieve(1e5 + 7);solve();return 0;
}

牛客挑战赛51 E NIT的gcd（欧拉反演，建图优化，三元环计数）相关推荐

【牛客 - 82B】区间的连续段（贪心，建图，倍增）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/82/B 来源:牛客网给你一个长为n的序列a和一个常数k 有m次询问,每次查询一个区间[l,r]内所有数最少分成 ...
【牛客 - 331D】炫酷路途（二进制枚举或建图方式+最短路或 dfs）
题干: 小希现在要从寝室赶到机房,路途可以按距离分为N段,第i个和i+1个是直接相连的,只需要一秒钟就可以相互到达. 炫酷的是,从第i个到第i+2pi+2p个也是直接相连的(其中p为任意非负整数),只 ...
牛客挑战赛47 A 一道GCD问题
牛客挑战赛47 A 一道GCD问题思路参考牛客上的题解: 根据多维的更相减损术得gcd(x,y,z)=gcd(x,y−x,z−y)得 gcd(a1+k,a2+k,a3+k-,an+k)=gcd(a1 ...
牛客挑战赛47 D Lots of Edges（最短路+递归枚举子集）
牛客挑战赛47 D Lots of Edges 思路:点的权值最多只有(1<<17)-1(131071) ,那我们可以枚举终点的值来算最短路,每个点能连边的值都是固定的,可以通过递归枚举子 ...
牛客挑战赛47 C 条件（Floyd bitset优化）
牛客挑战赛47 C 条件思路:首先我们要两个图,一个是一定能到达的,一个是可能到达的,如果我们使用floyd (n^3)就有可能会超时,因为只要求询问能否到达,所以权值只有0和1,那我们可以使用bi ...
牛客挑战赛42 A.小睿睿的数列
牛客挑战赛42 A.小睿睿的数列题目链接题目描述小睿睿给了你一个长度为n的数列,他想问你该数列中满足条件(区间内存在某个数是区间内所有数的公因数)的最长区间有多少个输入描述: 第一行 111 ...
牛客挑战赛36 - 纸飞机
题目链接:牛客挑战赛36 - 纸飞机题目描述直线上有n座山峰,第i座的高度为hi.从某座山峰上放飞一架纸飞机,它可以从左往右依次经过一系列高度严格递减的山头. 假设五座山峰的高度依次是3,4,3, ...
牛客练习赛51 C、勾股定理只一边求另外两边结论
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1083/C 来源:牛客网勾股定理时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒空间限制:C/C++ 32768K,其他语 ...
牛客挑战赛34 A 能天使的愿望（dp 分组背包）
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/2271/A 来源:牛客网题目描述出题人寄给大家的一些闲话:参加了CSP-J/S 2019 的同学,考的都怎么样啊?不 ...

牛客挑战赛51 E NIT的gcd（欧拉反演，建图优化，三元环计数）

牛客挑战赛51 E NIT的gcd（欧拉反演，建图优化，三元环计数）相关推荐

最新文章

热门文章