上周回家，看到堂弟在写的一道数学题，突然发现这道题是一道「传说级」的经典题目。

题目是这样的：

任意圆上随机取一条弦，这条弦的长度比这个圆的内接等边三角形的边长更长的概率是多少？（如下图所示，任意取一条弦 DE，圆内接等边△ABC）

这道题看上去其实很简单，仔细观察上图，大家也差不多能猜出结果是多少，看看下面的解法：

圆的内接等边 △ABC 中 ∠C = 60°，由顶点C引出的弦，其中所有弦长大于△ABC 边 BC和AC的长度，均落在 ∠C 所对应的弧AB上，弧AB的弧长占整个圆形的三分之一，所以概率是 P = 1/3。

但 P = 1/3 真的，对吗？那我们再看看下面这种情况。

在垂直于△ABC 任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候，弦长等于 △ABC 的边长，当直径上的点离圆心的距离小于圆半径的 1/2  时，弦长大于△ABC 边长，所以概率 P = 1/2。

这样看，答案又变成 1/2 了，难道第一个情况算错了，那 P = 1/2 是正确答案吗？

情况远不止如此，我们再看看下面这个情况。

在△ABC 中做内切圆，当弦DE 的中点在内切圆（小圆）内时，弦 DE 的长度大于△ABC 的边长，而外接圆（大圆）的弦中点一定在内切圆（小圆）内，大圆的面积是 πr²，小圆的面积是 1/4πr² （小圆半径大圆的 1/2）。答案又变了，概率 P = 1/4 。

同一道数学题，竟然有三种答案，到底哪个答案是错的？出现这种结果的原因出在哪啊？

这个问题现象，是由法国学者贝特朗在 1899 年针对几何概型的问题，称之为「贝特朗奇论」。

其实，三个答案都是正确答案，真正问题出在了题目本身。

题目中，在「圆上取弦」的方式有问题，从概率论的角度来说，不同的「取弦」方式，所获得结果的样本空间不同，造成最后概率不同。

• 第一种情况，假定弦的一端是固定的，另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点所组成样本空间为 A。

• 第二种情况，假定弦的中点在圆的直径上均匀分布，在直线上的样本空间为B。

• 第三种情况，假定弦的中点在大圆内部均匀分布，大圆内的点所组成样本空间为C。

实际上，这种 「悖论」并不是真正的「悖论」。这只是选择了不同的「弦」导致了不同的概率结果。至于哪一个概率是正确的，决定于事先确定的模型的如何应用或阐释。

样本空间：我们将随机试验 E 的一切可能基本结果（或实验过程如取法或分配法）组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S。样本空间的元素，即 E 的每一个可能的结果，称为样本点。

生活中，概率问题看上去都很简单，但人们却经常掉入一些概率的陷阱之中。

我们常常听到的「三门问题」、「赌徒思维」都是概率给我们设下的陷阱，让我们忽视了问题内在逻辑。

上学时，我们做概率统计方面的题目，经常得出各种各样的答案，有时与正确答案相距甚远，有时会忽略不同事件发生的情况，这是因为不同思维水平的人对题目的理解大相径庭。

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