一张灰度图是由多个像素点而组成的，同样，这些像素点的是由一个从0（黑）到255（白）的非负数组成的。假设我们现在有一张小的灰度图像。在第一行的灰度值为110,100,120,140,130,100,100.这些灰度图在图3.1画出

图3.1 灰度

我们很很自然的就会问，能不能用一个函数f（t）来表示这一行的数据？我们可以用从例1.2推出的函数Φ（t）来表示。Φ（t）为

那么我们就开始用Φ（t）来构建f（t）吧

Φ（t）以及f（t）如图3.2所示

注意到，所有的f（t）都是对所有的t∈R是连续的，除了在t=1,2,3,4,5。

• V₀空间的定义

我们可以使用上面的示例创建一个向量空间,并且所有的的断点都在整数。我们不妨试着定义这个空间是由Φ（t）以及它的变换函数Φ（t-k）张成的，其中k∈Z，所以在这个空间的元素可以表示为

在式子3.3中我们故意模糊了求和的范围。我们是不是真的要对求和进行一些约束呢？其实，在图像处理中，k只要覆盖到了所有的行列就可以了。在这种情况下，我们称这些像素为紧密支撑元素。

但是，如果把k设定为有限值，我们就无法对一些有用的函数建模。好比如sin和cos线性组合的这种无限长支撑集的函数。当然了，所有的实际运用的函数都是有限的。所以，我们必须要在L²（R）空间里面对函数进行讨论，并且不需要讨论到无穷大，只是需要讨论到函数取值近似于0的时候就可以了，所以我们有如下定义

定义3.1（哈尔空间V₀和哈尔函数Φ（t））Φ（t）已经在（3.1）写过了，我们下面就来定义V₀空间

（作者注：这么命名是为了纪念匈牙利的数学家n Alfred Haar (1885-1933），这个数学家创立了正交函数论）

这个空间就是在L²(R)里面断点为正数的所有分段常数函数。在练习3.4你需要证明这个空间是L²(R)的子空间。

通过定义，你就可以知道Φ（t）以及Φ（t-k）张成了整个空间。在练习3.1中你就会知道，他们是线性无关的。因此，他们是这个空间的一组基

• Φ（t）以及它的变换的正交性

我们来选择下标j！=k的函数Φ（t-j）以及Φ（t-k）。Φ（t-j）在区间[j,j+1)不为0，同样Φ（t-k）在[k,k+1）不为0.如果j！=k，他们的乘积就为0，如图3.3所示

因此内积为

所以他们是正交的。同样，我们注意到了Φ（t-k）²=Φ（t-k），所以无论我们怎么平移，它与横轴所围成的面积始终为1

注意我们本章中所讨论都是实函数。所以我们修改了定义1.8的式子中的共轭来计算内积

主题3.1（V₀的正交基）在定义3.1中给出的V₀，它的正交基为{Φ（t-k）}_k∈Z。

证明：通过定义以及练习3.1你会知道{Φ（t-k）}_k∈Z是线性无关的，之前的计算也很明V₀ 的内积为

其中δ_j，k在式子（2.16）给出

下面我们看一些V₀的例子

例3.1（V0中元素）判断下列函数是否位于V₀

（a）其中

（b）阶梯函数

（c）函数

（d）函数

解：

对于（a），我们作如下化简

不难看出，间断点为2个，而且分段的地方是正数并且

所以f（t）∈V₀

对于（b），当t≥1且k=1,2,3,4....的时候，g（t）≥1。然而，我们在练习1.13（b）知道，函数

并不属于L²(R)。又因为在[0,∞)上g（t）≥r（t）。所以。虽然这个函数的间断点也在正数，因为不是绝对可积的，所以并不属于空间V₀

对于（c），我们可以看出这个是函数Φ（t-k）的线性结合。但是我们还是要费点功夫来看。所以我们先化简一下

这些严格的证明应该设计到无穷级数求和以及不定积分的顺序的交换。这些应该在分析数学的课上学过，感兴趣的读者可以看Rudin的书。h（t）²的化简如下

我们在R上对它进行积分

从（3.5）我们知道Φ（t-k）和Φ（t-j）的积分为0，只有当j=k的时候为1，所以，式子可以化简为

从积分学，我们知道是p阶收敛的。（作者注：我们可以尝试通过傅里叶级数证明这个东西的求和为∏²/6,详见Kammler的书）。所以我们知道h（t）属于V₀空间。

（d）问题症结所在是每一项的系数都涉及了Φ（4t）这个函数。这是一个经过缩放的哈尔函数

我们在图3.4中画出了Φ（4t）。现在Φ（4t）=Φ（4（t-1/4））,所以我们可以认为这个是向右移动了1/4个单位，其余的以此类推，我们在图3.4画出了这个函数

图3.4函数Φ（4t）以及l（t）

• 从L²(R)映射到V₀

由于{Φ（t-k）}_k∈Z是一组正交基，因此，我们可以将一个位于L²(R）的函数映射到V₀上面，有

我们下面来看几个L²(R)投影到V₀的例子

例3.2（投影到V₀）我们从问题。练习1.13（a）知道函数，我们来寻找他在V₀上的投影

解：

对于k∈Z，我们必须计算。对于k≥0，在[k,k+1)上有Φ（t-k）=1，其余区间上Φ（t-k）=0所以我们在[k,k+1)上积分就可以了。又由于k＞0，因此，e^-∣t∣=e^-t，从而内积为

同理k＜0也有类似的做法，不再赘述，直接给出式子

我们在图3.5画出P(t)逼近的效果图

图3.5 函数g（t）以及它在V₀的投影