题意

描述

现在有一颗树形状的双向铁路，每条边的行驶时间是\(1\)；

给出\(m\)条列车行驶的路径\(s_{i}\to t_{i}\)，问列车相遇的对数(无序对)；

\(i和j\)号列车相遇当且仅当存在某个时刻使得\(i\)和\(j\)在同一个位置，注意这个位置可能在点上，也可能在边上；

范围

$0 \le n ,m \le 10^5 $

题解

• 相遇只有两种，同向和逆向；

• 把边也拆成点可以解决在边上相遇的问题；

• 考虑把每条路径按深度的大小关系划分成上行和下行(lca在上行)；

• 这样就只需要考虑上行和上行相交，上行和下行分别相交；

• 上行和上行相加直接统计子树内出发深度相同的路径的个数；

• 上行和下行相交树剖后变为一次函数\(x+c\)和\(-x+c\)的交点个数；

• 逆时针旋转\(45^{\circ}\) 之后做扫描线+\(BIT\)即可；

  #include<bits/stdc++.h>
  #define pb push_back
  #define ll long long
  using namespace std;
  const int N=200100,M=20;
  int n,m,o=1,hd[N];
  int size[N],sn[N],tp[N],fa[N],idx,st[N],id[N],dep[N];
  int sz,rt[N],ls[N*M],rs[N*M],sum[N*M],cnt1,cnt2,c[N<<1];
  struct Edge{int v,nt;}E[N<<1];
  vector<int>vec[N];
  struct data{int x,p,typ;data(int _x=0,int _p=0,int _typ=0):x(_x),p(_p),typ(_typ){};bool operator <(const data&A)const{return p<A.p;}
  }l1[N*M],l2[N*M];
  ll ans;
  char gc(){static char*p1,*p2,s[1000000];if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){int x=0;char c=gc();while(c<'0'||c>'9')c=gc();while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();return x;
  }
  void adde(int u,int v){E[o]=(Edge){v,hd[u]};hd[u]=o++;E[o]=(Edge){u,hd[v]};hd[v]=o++;
  }
  void dfsA(int u,int F){size[u]=1;sn[u]=0;dep[u]=dep[fa[u]=F]+1;for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){int v=E[i].v;if(v==F)continue;dfsA(v,u);size[u]+=size[v];if(size[v]>size[sn[u]])sn[u]=v;}
  }
  void dfsB(int u,int T){st[++idx]=u;id[u]=idx;tp[u]=T; if(sn[u])dfsB(sn[u],T);for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){int v=E[i].v;if(v==fa[u]||v==sn[u])continue;dfsB(v,v);}
  }
  int lca(int u,int v){int tu=tp[u],tv=tp[v];while(tu!=tv){if(dep[tu]<dep[tv])swap(u,v),swap(tu,tv);u=fa[tu],tu=tp[u];}return dep[u]<dep[v]?u:v;
  }
  int go(int u,int d){if(d<0)return 0;int tu=tp[u];while(dep[u]-dep[tu]<d){d-=dep[u]-dep[tu]+1;u=fa[tu],tu=tp[u];}return st[id[u]-d];
  }
  void update(int&k,int l,int r,int x,int y){if(!k)k=++sz;sum[k]+=y;if(l==r)return;int mid=l+r>>1;if(x<=mid)update(ls[k],l,mid,x,y);else update(rs[k],mid+1,r,x,y);
  }
  void merge(int&x,int&y){if(!x||!y){x=x+y;return;}if(!ls[x]&&!rs[x]){sum[x]=sum[x]+sum[y];return ;}merge(ls[x],ls[y]);merge(rs[x],rs[y]);sum[x]=sum[ls[x]]+sum[rs[x]];
  }
  int query(int k,int l,int r,int x){--sum[k];if(l==r)return sum[k];int mid=l+r>>1;if(x<=mid)return query(ls[k],l,mid,x);else return query(rs[k],mid+1,r,x);
  }
  void dfsC(int u){for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){int v=E[i].v;if(v==fa[u])continue;dfsC(v);merge(rt[u],rt[v]);}for(int i=0;i<vec[u].size();++i){int v=vec[u][i];ans+=query(rt[u],1,n,dep[v]);}
  }
  void init1(int x1,int y1,int x2,int y2){int x,y,z;x=x1-y1+n;y=x2-y2+n;z=x1+y1;l1[++cnt1]=data(x-1,z,-1);l1[++cnt1]=data(y,z,1);
  }
  void init2(int x1,int y1,int x2,int y2){int x,y,z;x=x1+y1;y=x2+y2;z=x1-y1+n;l2[++cnt2]=data(z,x,1);l2[++cnt2]=data(z,y+1,-1);
  }
  void add(int x,int y){for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;}
  int ask(int x){int re=0;for(;x;x-=x&-x)re+=c[x];return re;}
  int main(){freopen("train.in","r",stdin);freopen("train.out","w",stdout);n=rd();for(int i=1;i<n;++i){int u=rd(),v=rd();adde(u,i+n),adde(v,i+n);}dfsA(1,0);dfsB(1,1);n<<=1;m=rd();int dg=0;for(int i=1,u,v,p,q,tu,tv,d;i<=m;++i){u=rd();v=rd();p=lca(u,v);q=go(v,dep[v]-dep[p]-1);if(dg){printf("%d %d %d %d\n",u,v,p,q);}update(rt[u],1,n,dep[u],1);vec[p].pb(u);tu=tp[u];d=0;while(tu!=tp[p]){init1(id[tu],d+dep[u]-dep[tu],id[u],d);d+=dep[u]-dep[tu]+1;u=fa[tu],tu=tp[u];}init1(id[p],d+dep[u]-dep[p],id[u],d);d+=dep[u]-dep[p];if(v==p)continue;tv=tp[v];d+=dep[v]-dep[p];while(tv!=tp[q]){init2(id[tv],d-dep[v]+dep[tv],id[v],d);d-=dep[v]-dep[tv]+1;v=fa[tv],tv=tp[v];}init2(id[q],d-dep[v]+dep[q],id[v],d);d-=dep[v]-dep[q];}dfsC(1);sort(l1+1,l1+cnt1+1);sort(l2+1,l2+cnt2+1);n<<=1;for(int i=1,j=1;i<=cnt1;++i){while(j<=cnt2&&l2[j].p<=l1[i].p){add(l2[j].x,l2[j].typ);j++;}ans+=l1[i].typ*ask(l1[i].x);}printf("%lld\n",ans);return 0;
  }