洛谷P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物(FFT)
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首先,两个数同时增加自然数值相当于只有其中一个数增加(此增加量可以小于0)
我们令$x$为当前的增加量,${a},{b}$分别为旋转后的两个数列,那么$$ans=\sum_{i=1}^n(a_i+x-b_i)^2$$
然后把第$i$项提出来并展开,可得$$(a_i+x-b_i)^2=a_i^2+b_i^2+x^2+2xa_i-2xb_i-2a_ib_i$$
那么答案就是$$ans=\sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^nb_i^2+nx^2+2x(\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i)-2\sum_{i=1}^na_ib_i$$
然后发现,答案里面只有最后一项与$a,b$的顺序有关(也就是旋转成了什么样子),前面的项都是常数(对同一个$x$来说),那么我们只要令$\sum_{i=1}^na_ib_i$最大就能让答案最小了
我们考虑一下,如果把数列$b$给反过来,那么最后一项就变成了$\sum_{i=1}^na_ib_{n-i+1}$,这是一个卷积的形式,可以直接用FFT计算1$项的系数)
那么我们把数列$b$反过来,然后把数列$a$倍长,那么两式卷积之后第$n+1$到第$2n$项里面最大值就是最大的$\sum_{i=1}^na_ib_i$
于是只要枚举一下$x$和旋转(多项式的第几项)就好了
1 //minamoto 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<cmath> 5 #define ll long long 6 #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f 7 using namespace std; 8 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 9 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 10 template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;} 11 inline int read(){ 12 #define num ch-'0' 13 char ch;bool flag=0;int res; 14 while(!isdigit(ch=getc())) 15 (ch=='-')&&(flag=true); 16 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 17 (flag)&&(res=-res); 18 #undef num 19 return res; 20 } 21 const int N=400005;const double Pi=acos(-1.0); 22 struct complex{ 23 double x,y; 24 complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;} 25 inline complex operator +(complex b){return complex(x+b.x,y+b.y);} 26 inline complex operator -(complex b){return complex(x-b.x,y-b.y);} 27 inline complex operator *(complex b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);} 28 }A[N],B[N]; 29 int n,m,l,r[N],limit=1,a[N],b[N];ll a1,a2,b1,b2,ans=inf; 30 void FFT(complex *A,int type){ 31 for(int i=0;i<limit;++i) 32 if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]); 33 for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){ 34 complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid)); 35 for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R){ 36 complex w(1,0); 37 for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn){ 38 complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k]; 39 A[j+k]=x+y,A[j+mid+k]=x-y; 40 } 41 } 42 } 43 } 44 int main(){ 45 // freopen("testdata.in","r",stdin); 46 n=read(),m=read(); 47 for(int i=1;i<=n;++i) 48 a[i]=read(),a1+=a[i]*a[i],a2+=a[i]; 49 for(int i=1;i<=n;++i) 50 b[i]=read(),b1+=b[i]*b[i],b2+=b[i]; 51 for(int i=1;i<=n;++i) 52 A[i].x=A[i+n].x=a[i],B[i].x=b[n-i+1]; 53 while(limit<=(n*3)) limit<<=1,++l; 54 for(int i=0;i<limit;++i) 55 r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); 56 FFT(A,1),FFT(B,1); 57 for(int i=0;i<limit;++i) A[i]=A[i]*B[i]; 58 FFT(A,-1); 59 for(int i=0;i<limit;++i) A[i].x=(ll)(A[i].x/limit+0.5); 60 for(int i=1;i<=n;++i) 61 for(int j=-m;j<=m;++j) 62 cmin(ans,a1+b1+j*j*n+2ll*j*(a2-b2)-2ll*(ll)A[n+i].x); 63 printf("%lld\n",ans); 64 return 0; 65 }
转载于:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/9745089.html
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