解题报告：P3834 【模板】可持久化线段树 2（主席树）详解

P3834 【模板】可持久化线段树 2（主席树）

题解 P3834 【【模板】可持久化线段树 2（主席树）】

1）静态求第k大数

可持久化线段树，不能用堆的方法存子结点了，所以用指针l表示左儿子r表示右儿子

可持久化线段树难以处理区间修改，因为很难处理懒惰标记，除非使用永久化标记线段树

新版本其他的都不变，只把新的点替换，其他的性质例如左右儿子是谁不变，所以每新加入一个数，也就是到了新版本，就完成与一次新老版本的迭代（tr[q] = tr[p] q是新版本p是老版本）

线段树维护的是整个值域。
在数值上建立一个线段树，维护cnt表示每个数值的区间上一共有几个数。

线段树和平衡树都是二叉树，所以我们需要做二分的时候可以考虑能否在树里做二分。

我们首先考虑[1,R]这个区间的个数。很明显我们可以直接用第R个版本即可。
但是我们要求的是[L,R]这个区间，有两个限制。所以我们利用类似前缀和的思想，用第R个版本个数cnt1减去第L-1个版本cnt2
即可得到L到R之间的个数：cnt1-cnt2

每次都是个上一个版本比较
l指的是左儿子，不是左边界

由于数据范围达到了1e9
所以需要离散化

//线段树维护的是数值#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>using namespace std;
const int N = 500007, M = 10007, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
int idx;
int a[N];
int root[N];
vector<int> nums;
struct Tree{int l, r;int cnt;//表示的是这个值域区间一共有多少个数
}tr[N * 4 + N * 17];//log(1e5) ≈ 17int find(int x){return lower_bound(nums.begin(), nums.end(), x) - nums.begin();
}int build(int l, int r){int p = ++ idx;if(l == r)return p;int mid = l + r >> 1;tr[p].l = build(l, mid);tr[p].r = build(mid + 1, r);return p;
}int insert(int p, int l, int r, int x){//开始把n个数插入（迭代新版本）int q = ++ idx;tr[q] = tr[p];//新老版本交接if(l == r){tr[q].cnt ++ ;return q;}int mid = l + r >> 1;if(x <= mid)tr[q].l = insert(tr[p].l, l, mid, x);else tr[q].r = insert(tr[p].r, mid + 1, r, x);tr[q].cnt = tr[tr[q].l].cnt + tr[tr[q].r].cnt ;return q;
}int query(int q, int p, int l, int r, int k){if(l == r)return r;int mid = l + r >> 1;int cnt = tr[tr[q].l].cnt - tr[tr[p].l].cnt;if(k <= cnt)return query(tr[q].l, tr[p].l, l, mid, k);else return query(tr[q].r, tr[p].r, mid + 1, r, k - cnt);//这里注意往右区间找的时候第k大已经变成了k-cnt大了
}int main(){scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1;i <= n; ++ i){scanf("%d", &a[i]);nums.push_back(a[i]);}sort(nums.begin(), nums.end());nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());//第一个版本root[0] = build(0, nums.size() - 1);//新版本是由旧版本继承过来的for(int i = 1;i <= n; ++ i)root[i] = insert(root[i - 1], 0, nums.size() - 1, find(a[i]));while(m -- ){int l, r, k;scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);printf("%d\n", nums[query(root[r], root[l - 1], 0, nums.size() - 1, k)]);}return 0;
}

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