【网络流24题】解题报告：K、航空路线问题（最小费用最大流）

【问题分析】

求最长两条不相交路径，用最大费用最大流解决。

【建模方法】

把第i个城市拆分成两个顶点<i.a>,<i.b>。

1、对于每个城市i，连接(<i.a>,<i.b>)一条容量为1，费用为1的有向边，特殊地(<1.a>,<1.b>)和(<N.a>,<N.b>)容量设为2。
2、如果城市i,j(j>i)之间有航线，从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1，费用为0的有向边。

求源<1.a>到汇<N.b>的最大费用最大流。如果(<1.a>,<1.b>)不是满流，那么无解。否则存在解，即为最大费用最大流量 - 2。

【建模分析】

每条航线都是自西向东，本题可以转化为求航线图中从1到N两条不相交的路径，使得路径长度之和最大。转化为网络流模型，就是找两条最长的增广路。由于每个城市只能访问一次，要把城市拆成两个点，之间连接一条容量为1的边，费用设为1。因为要找两条路径，所以起始点和终点内部的边容量要设为2。那么费用流值-2就是两条路径长度之和，为什么减2，因为有两条容量为2的边多算了1的费用。求最大费用最大流后，如果(<1.a>,<1.b>)不是满流，那么我们找到的路径不够2条（可能是1条，也可能0条），所以无解。

【问题另解】

经典的多线程动态规划问题。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 500007, M = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;namespace dinic{const int N = 500007, M = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f;int S, T, n;int head[N], nex[M], ver[M], tot, cur[N];ll dist[N], edge[M], cost[M], maxflow, mincost;bool vis[N];inline void add(int x, int y, ll z, ll c, bool o = 1){ver[tot] = y;edge[tot] = z;cost[tot] = c;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;if(o)add(y, x, 0, -c, 0);}inline bool spfa(){for(int i = 1; i <= n; ++ i)dist[i] =LINF;memset(vis, 0, sizeof vis);queue<int>q;q.push(S);dist[S] = 0;vis[S] = 1;while(q.size()){int x = q.front();q.pop();vis[x] = 0;for(int  i = head[x]; ~i ;i = nex[i]){int y = ver[i];ll z = edge[i], c = cost[i];if(dist[y] > dist[x] + z && z){dist[y] = dist[x] + z;if(!vis[y])q.push(y), vis[y] = 1;}}}return dist[T] != LINF;}ll dfs(int x, ll flow = LINF){if(x == T)return flow;ll ans = 0, k, i;vis[x] = 1;for(int i = cur[x]; ~i; i = nex[i]){int y = ver[i];ll z = edge[i], c = cost[i];if(z && dist[y] == dist[x] + c && vis[y]){k = dfs(y, min(z, flow));if(!k)dist[y] = LINF;edge[i] -= k;edge[i ^ 1] += k;ans += k, mincost += k * c, flow -= k;}vis[x] = 0;return ans;}}inline void main(){while(spfa()){for(int i = 1; i <= n; ++ i)cur[i] = head[i];ll now;while((now = dfs(S)))maxflow += now;}}inline void init(int _n, int _S, int _T){n = _n, S = _S, T = _T, tot = 0, maxflow = 0, mincost = 0;memset(head, -1, sizeof head);}
}
map<string, int>ip;
bool way[N];
string s[N], ch;
int n, m, S, T;
int x, y;inline void dfs1(int x){way[x] = 1;cout <<s[x - n] << endl;for(int i = dinic::head[x]; ~i; i = dinic::nex[i]){int y = dinic::ver[i], z = dinic::edge[i];if(y <= n && z){dfs1(y + n);break;}}
}inline void dfs2(int x){for(int i = dinic::head[x]; ~i; i = dinic::nex[i]){int y = dinic::ver[i], z = dinic::edge[i];if(y <= n && z && !way[y + n])dfs2(y + n);}cout << s[x - n] << endl;
}int main(){scanf("%d%d", &n, &m);S = 1, T = n << 1;bool flag = 0;dinic::init(n + n + n, S, T);for(int i = 1; i <= n; ++ i)cin >> s[i], ip[s[i]] = i;//i ~ n 表示入点 n + 1 ~ 2 * n 表示出点for(int i = 2; i < n; ++ i)dinic::add(i, n + i, 1, 1);cout << "ok" << endl;dinic::add(1, n + 1, 2, 1), dinic::add(n, n + n, 2, 1);while(m -- ){cin >> ch, x = ip[ch];cin >> ch, y = ip[ch];if(x > y)swap(x, y);flag |= (x == 1 && y == n);dinic::add(x + n, y, 1, 0);}cout << "ok" << endl;dinic:main();cout << "ok" << endl;if(dinic::maxflow == 2)printf("%d", dinic::mincost - 2);else if(dinic::maxflow == 1 && flag){printf("2\n");cout << s[1] << endl << s[n] <<endl << s[1] << endl;return 0;}else return !printf("No Solution!\n");for(int i = 1;  i <= n + 2; ++ i)way[i + n] = 0;dfs1(1 + n), dfs2(1 + n);
}

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