BZOJ1217: [HNOI2003]消防局的设立

Description

2020年，人类在火星上建立了一个庞大的基地群，总共有n个基地。

起初为了节约材料，人类只修建了n-1条道路来连接这些基地，并且每两个基地都能够通过道路到达，所以所有的基地形成了一个巨大的树状结构。

如果基地A到基地B至少要经过d条道路的话，我们称基地A到基地B的距离为d。

由于火星上非常干燥，经常引发火灾，人类决定在火星上修建若干个消防局。

消防局只能修建在基地里，每个消防局有能力扑灭与它距离不超过2的基地的火灾。

你的任务是计算至少要修建多少个消防局才能够确保火星上所有的基地在发生火灾时，消防队有能力及时扑灭火灾。

Input

第一行为n，表示火星上基地的数目。N<=1000

接下来的n-1行每行有一个正整数，其中文件第i行的正整数为a[i]，表示从编号为i的基地到编号为a[i]的基地之间有一条道路，为了更加简洁的描述树状结构的基地群，有a[i] < i

Output

仅有一个正整数，表示至少要设立多少个消防局才有能力及时扑灭任何基地发生的火灾。

Sample Input

6
1
2
3
4
5

Sample Output

题解Here!

各大神犇都用的是树形$DP$。。。

不会树形$DP$的我瑟瑟发抖。。。

其实是一个贪心：找最低没被覆盖到的点，并在它的祖父处设一个消防站。

考虑到这个点的所有子孙后代都已经被覆盖了，因此这时覆盖祖父能盖到更多额外的点，并保证结果不会更差。

很多思路是用$DFS$或堆求取最低节点，实际上没必要，只要预处理出深度（边输入边处理）并排序。

然后碰到已覆盖就跳过，未覆盖就在祖父处设消防站，并且$ans++$即可。

问题在于怎样才能判断这个点覆盖到了没有。

有两种情况很好解决：

1. 儿子或孙子覆盖他：可以在在儿子处设站时就标记它。

2. 父亲或祖父覆盖他：可以用儿子对父亲的映射$fa[i]$来解决。

但是问题在于兄弟：

我们可以用$dis$数组维护$\text{离i最近的消防站到i的距离}$，当$dis[fa[i]]==1$时，就能确定它是否被覆盖。

附：

这种方法的普适性很强，可以解决半径为$k$的最小覆盖问题，而且不用存图。

这时只需要把维护$\text{父亲和爷爷}$改成维护$\text{上位k位祖先}$即可，复杂度$O(NK)$，常数也很小。

然后就可以不用想$DP$。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 1010
using namespace std;
int n,ans=0;
int fa[MAXN],deep[MAXN],rk[MAXN],dis[MAXN];
inline int read(){int date=0,w=1;char c=0;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}return date*w;
}
inline bool cmp(const int &p,const int &q){return deep[p]>deep[q];
}
void work(){for(int i=1;i<=n;i++){int w=rk[i],u=fa[w],v=fa[u];dis[w]=min(dis[w],min(dis[u]+1,dis[v]+2));if(dis[w]>2){ans++;dis[v]=0;dis[fa[v]]=min(dis[fa[v]],1);dis[fa[fa[v]]]=min(dis[fa[fa[v]]],2);}}printf("%d\n",ans);
}
void init(){n=read();rk[1]=deep[1]=1;dis[1]=dis[0]=n;for(int i=2;i<=n;i++){fa[i]=read();deep[i]=deep[fa[i]]+1;rk[i]=i;dis[i]=n;}sort(rk+1,rk+n+1,cmp);
}
int main(){init();work();return 0;
}

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