Prim算法解决最小生成树（解决修路问题）

一.什么是Prim算法

普里姆算法查找最小生成树的过程，采用了贪心算法的思想。对于包含 N 个顶点的连通网，普里姆算法每次从连通网中找出一个权值最小的边，这样的操作重复 N-1 次，由 N-1 条权值最小的边组成的生成树就是最小生成树。

二.Prim实现的思路

将连通网中的所有顶点分为两类（假设为 A 类（结点已访问）和 B 类（结点未访问）。初始状态下，所有顶点位于 B 类；
选择任意一个顶点，将其从 B 类移动到 A 类；（把这个结点标志为访问了）
从 B 类的所有顶点出发，找出一条连接着 A 类中的某个顶点且权值最小的边，将此边连接着的 A 类中的顶点移动到 B 类（双重循环，找出访问节点和未访问结点之间最小的边）
重复执行第 3 步，直至 B 类中的所有顶点全部移动到 A 类，恰好可以找到 N-1 条边。（循环实现构成N-1次）

假如从顶点A出发，顶点 B、C、D 到顶点 A 的权值分别为 2、4、2，所以，对于顶点 A 来说，顶点 B 和顶点 D 到 A 的权值最小，假设先找到的顶点 B：

继续分析顶点 C 和 D，顶点 C 到 B 的权值为 3，到 A 的权值为 4；顶点 D 到 A 的权值为 2，到 B 的权值为无穷大（如果之间没有直接通路，设定权值为无穷大）。所以顶点 D 到 A 的权值最小：
最后，只剩下顶点 C，到 A 的权值为 4，到 B 的权值和到 D 的权值一样大，为 3。所以该连通图有两个最小生成树：

三. Prim应用举例及代码实现

问题描述：有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
* 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里。
* 求：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

实现思路

例如从A点开始，普利姆算法步骤如下：
1.从<A>顶点开始处理，A-C [7] A-G[2] A-B[5] ，选择最小的<A,G> ，并将两点标记为已选择
   2. <A,G> 开始 , 将A 和 G 顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 A-C[7] A-B[5] G-B[3] G-E[4] G-F[6] 选择最小的<A,G,B>，并标记为已选择
   3. <A,G,B> 开始，将A,G,B 顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 A-C[7] G-E[4] G- F[6] B-D[9]    选择最小的<A,G,B,E>，并标记为已选择。以此类推，最后会得到：
4.{A,G,B,E}->F//第4次大循环，对应边<E,F> 权值：5
     5.{A,G,B,E,F}->D//第5次大循环，对应边<F,D> 权值：4
6. {A,G,B,E,F,D}->C//第6次大循环，对应边<A,C> 权值：7 ===> <A,G,B,E,F,D,C>

代码实现

package c13prim;import java.util.Arrays;public class Prim {//用一个大数表示两个点之间走不通，没有连接public  static  final int N = 100;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//使用数组表示邻接矩阵， N表示不连通int[][] weight = new int[][]{{N, 5, 7, N, N, N, 2},{5, N, N, 9, N, N, 3},{7, N, N, N, 8, N, N},{N, 9, N, N, N, 4, N},{N, N, 8, N, N, 5, 4},{N, N, N, 4, 5, N, 6},{2, 3, N, N, 4, 6, N}};Graph graph = new Graph(vertexs, weight);System.out.println("图的存储信息");graph.showGraph();System.out.println("选择修建的连接边的信息");graph.prim(0);}static class Graph{private char[] vertex;  //表示顶点信息private int[][] edges;   //存放邻接矩阵 ，表示边之间的权值public Graph(char[] vertex,int[][] edges) {this.vertex =vertex;this.edges = edges;}public void showGraph(){for (int[] edge : edges) {System.out.println(Arrays.toString(edge));}}//构建Prim算法，根据思路实现代码public void prim( int VertexIndex) {//标记顶点是否已经被选中，选中为1，没选中为0int[] selected = new int[vertex.length];//把当前顶点标记为已选中selected[VertexIndex] = 1;//已经访问顶点的下标int visitYesIndex = -1;//还没有访问顶点的下标int visitNoIndex = -1;//初始化最小权值为一个不可达的数int minWright = N;int length=vertex.length;//为什么从1开始？因为普利姆算法结束后，k个顶点，生成的边只能是k-1个for (int k = 1; k < length; k++) {//每次都需要遍历已经选择的顶点，比如第一次遍历只有A点是已选择的，第二次有A，G，第三次有A，G，B，第四次......for (int i = 0; i < length; i++) {//每次都需要遍历还没有被选择的顶点，比如当i 对应的为A时，j对应的有C，G，B(排除不可达的顶点)for (int j = 0; j < length; j++) {//如果i是已选择的j是未选择的且i和j之间是可达（存在边）的if (selected[i] == 1 && selected[j] == 0 && edges[i][j] < minWright) {//替换 minWeight ，寻找已经访问的顶点和没有访问的顶点的权值的最小边minWright = edges[i][j];// 替换每次比较符合条件的已选择顶点和未选择顶点visitYesIndex = i;visitNoIndex = j;}}}//一次循环之后  得到了最小一条边，此时要把没访问的置为已访问了System.out.println("选择边 <" + vertex[visitYesIndex] + "," +vertex[visitNoIndex] + "> 权值:" + minWright);selected[visitNoIndex] = 1;//minWright 重新设置最大值minWright = N;}}}}

结果展示