多目标pareto最优解集构造方法

进化算法每一代都要构造非支配解集，因此构造非支配解集的效率直接影响算法的运行效率。构造非支配解集方法是一项重要的演技内容。
下面为几种常见的构造pareto解集的方法。

Deb非支配排序方法

进化群体:P 构造集: P’。初始，将P中的第一个个体放入P’。
依次取出P中的个体p放入P’中，同时当前取出的p与P’中的所有个体进行比较，删除P’中被p支配的个体，若p被P’中个体支配，则将p从P’中删除。

伪代码：

P'=find_nondom_front(P)
P'={1}
for each p in P and p not in P'P'=P' U {p}for each q in P' and q!=pif p dom q: P'=P'-{q}elif q dom p: P'=P'-p

时间复杂度：O(rN2)时间复杂度：O(rN^2)时间复杂度：O(rN2)

排除法

进化群体: Pop 非支配解集: NDSet
将Pop中的每个群体X与NDSet中的个体Y比较（初始为空），若X支配Y, 将Y从NDSet中删除。若X不被NDSet中得个体支配，将X并入NDSet。
当NDSet为空，直接将X放入NDSet中。

伪代码

NDSet=null
for each Y in Pop:X.dom=Tif NDSet==null: NDSet=NDSet U {X}elif X dom Y:NDSet=NDSet-Yelse if Y dom X:X.dom=Fif X.dom: NDSet=NDSet U {X}

时间复杂度：O(rN2)其中r表示目标个数时间复杂度：O(rN^2) 其中r表示目标个数时间复杂度：O(rN2)其中r表示目标个数
策略2：
将构造集与非支配集合分开，
初始构造NDSet1=Pop, 非支配解集NDSet为空。将构造集NDSet中的每个个体X与其他个体Y比较（包括非支配解集），若X支配Y, 则将Y从NDSet1中删除。在一轮比后，若X不被任何其他个体支配，则X为非支配解，将其并入非支配解集NDSet中。【此种方法，不管何时，NDSet中的解均为非支配解集】

伪代码

NDSet1=Pop, NDSet=null
while Q!=nullsign=TX=first(NDSet1)  ##NDSet中的第一个个体Xfor each Y in NDSet1 U NDSetif X dom Y:NDSet1=NDSet1-{Y}elif Y dom X:sign=Fif sign:NDSet=NDSet U {X}
NDSet=NDSet+NDSet1

庄家法

特点：每次构造的非支配解集不需要与原来的非支配解集进行比较。
构造集Q中选择一个个体为庄家X（一般为第一个）庄家与构造集中的每个个体y进行比较，并将庄家所支配的个体淘汰出局；一轮后，如果庄家未被其他个体支配，则庄家为非支配个体，否则，庄家也被淘汰出局。依次类推进行下一轮比较。直到构造集为空。

Q=Pop
while Q!=nullX=first(Q)   ##选择Q中的第一个个体为庄家XQ=Q-{X}X.dom=Tfor each Y in Q and X!=Y:if X dom Y:Q=Q-{Y}elif Y dom X:X.dom=Fif X.dom: NDSet=NDSet U {X}

时间复杂度分析：
比较过程中存在极端的三种情况：
设种群Pop个体数为N, 其中非支配解个数为m， Q为构造集初始 Q=Pop
(1)前m-1次比较均为非支配解集，第m次，清除Q中所有支配个体（N-m）。
时间复杂度：（N−1）+(N−2)+...+(N−m)=(2N−m−1)m/2<Nm时间复杂度：（N-1）+(N-2)+...+(N-m)=(2N-m-1)m/2<Nm时间复杂度：（N−1）+(N−2)+...+(N−m)=(2N−m−1)m/2<Nm
(2)前N-m次的个体均为支配个体，未从Q中删除个体，后m次比较每次产生一个非支配解。
时间复杂度：（N−1）+(N−2)+...+(N−m)+（N−m−1）+1=N(N−1)/2时间复杂度：（N-1）+(N-2)+...+(N-m)+（N-m-1）+1=N(N-1)/2时间复杂度：（N−1）+(N−2)+...+(N−m)+（N−m−1）+1=N(N−1)/2
(3)第一次产生非支配个体，且从Q中删除N-m个支配集合，在剩下的m-1个个体中，每次产生一个非支配个体。
时间复杂度：（N−1）+(m−2)+(m−3)+...+2+1=(N−1)+(m−1)(m−2)/2时间复杂度：（N-1）+(m-2)+(m-3)+...+2+1=(N-1)+(m-1)(m-2)/2时间复杂度：（N−1）+(m−2)+(m−3)+...+2+1=(N−1)+(m−1)(m−2)/2
一般情况下，设进行了k次比较， m≤k≤Nm\le k \le Nm≤k≤N 每次比较淘汰一个个体，共淘汰k个个体，其中有m个非支配个体，（k-m）个支配个体，k次比较构造集中清除了k个个体（庄家），其中有k-m个支配个体，m个非支配个体。假设每次清除（N-k）个支配个体的概率相同，即为（N-k）/k,则k次比较的复杂度为：
(N−1)+(N−2−(N−k)/k)+(N−3−2(N−k)/2)+...+(N−k−(k−1)(N−k)/k)=k(N−1)/2+(N−k)/2<N2(N-1)+(N-2-(N-k)/k)+(N-3-2(N-k)/2)+...+(N-k-(k-1)(N-k)/k)= k(N-1)/2+(N-k)/2<N^2(N−1)+(N−2−(N−k)/k)+(N−3−2(N−k)/2)+...+(N−k−(k−1)(N−k)/k)=k(N−1)/2+(N−k)/2<N2
综上平均复杂度为：
(N+m)(N−1)/4+(N−(N−m)/2)/2(N+m)(N-1)/4+(N-(N-m)/2)/2(N+m)(N−1)/4+(N−(N−m)/2)/2
一般,m≤N/2且（N+m）/2≤Nm\le N/2且（N+m）/2\le Nm≤N/2且（N+m）/2≤N,因此，比O(rN3)和O(rN2)O(rN^3)和O(rN^2)O(rN3)和O(rN2)效率高。