基于用户投票的排名算法（四）：牛顿冷却定律

作者：阮一峰

日期： 2012年3月16日

这个系列的前三篇，介绍了Hacker News，Reddit和Stack Overflow的排名算法。

今天，讨论一个更一般的数学模型。

这个系列的每篇文章，都是可以分开读的。但是，为了保证所有人都在同一页上，我再说一下，到目前为止，我们用不同方法，企图解决的都是同一个问题：根据用户的投票，决定最近一段时间内的"热文排名"。

你可能会觉得，这是一个全新的课题，伴随着互联网而产生，需要全新的方法来解决。但是，实际上不是。我们可以把"热文排名"想象成一个"自然冷却"的过程：

　　（1）任一时刻，网站中所有的文章，都有一个"当前温度"，温度最高的文章就排在第一位。

　　（2）如果一个用户对某篇文章投了赞成票，该文章的温度就上升一度。

　　（3）随着时间流逝，所有文章的温度都逐渐"冷却"。

　　

这样假设的意义，在于我们可以照搬物理学的冷却定律，使用现成的公式，建立"温度"与"时间"之间的函数关系，轻松构建一个"指数式衰减"（Exponential decay）的过程。

伟大的物理学家牛顿，早在17世纪就提出了温度冷却的数学公式，被后人称作"牛顿冷却定律"（Newton's Law of Cooling）。我们就用这个定律构建排名算法。

"牛顿冷却定律"非常简单，用一句话就可以概况：

物体的冷却速度，与其当前温度与室温之间的温差成正比。

写成数学公式就是：

　　 $T'(t)=-\alpha (T(t)-H)$

其中，

　　- T(t)是温度（T）的时间（t）函数。微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'(t)。

　　- H代表室温，T(t)-H就是当前温度与室温之间的温差。由于当前温度高于室温，所以这是一个正值。

　　- 常数α（α>0）表示室温与降温速率之间的比例关系。前面的负号表示降温。不同的物质有不同的α值。

这是一个微分方程，为了计算当前温度，需要求出T(t)的函数表达式。

第一步，改写方程，然后等式两边取积分。

　　 $\frac{T'(t)}{T(t)-H}=-\alpha$

　　 $\int\frac{T'(t)}{T(t)-H}\,dt=\int(-\alpha)\,dt$

第二步，求出这个积分的解（c为常数项）。

　　 $ln(T(t)-H)=-\alpha t+c$

　　 $T(t)-H=e^{(-\alpha t+c)}$

　　 $T(t)=H+Ce^{-\alpha t}$

第三步，假定在时刻t₀，该物体的温度是T(t₀)，简写为T₀。代入上面的方程，得到

　　 $T_{0}=H+Ce^{-\alpha t_{0}}$

　　 $C=(T_{0}-H)e^{\alpha t_{0}}$

第四步，将上一步的C代入第二步的方程。

　　 $T=H+(T_{0}-H)e^{-\alpha(t-t_{0})}$

假定室温H为0度，即所有物体最终都会"冷寂"，方程就可以简化为

　　 $T=T_{0}e^{-\alpha(t-t_{0})}$

上面这个方程，就是我们想要的最终结果：

　　本期温度 = 上一期温度 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

将这个公式用在"排名算法"，就相当于（假定本期没有增加净赞成票）

　　本期得分 = 上一期得分 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)

其中，"冷却系数"是一个你自己决定的值。如果假定一篇新文章的初始分数是100分，24小时之后"冷却"为1分，那么可以计算得到"冷却系数"约等于0.192。如果你想放慢"热文排名"的更新率，"冷却系数"就取一个较小的值，否则就取一个较大的值。

[参考文献]

　　*　Rank Hotness With Newton's Law of Cooling

（完）

文档信息

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发表日期： 2012年3月16日
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留言（19条）

erben 说：

好模型。

2012年3月16日 02:18 | ∞ | 引用

必填说：

有趣的模型。如果拿这个跟那些score=log(vote)-c*time的模型比较，可以发现后者就是对牛顿模型里的温度取了个对数。

一个可能的变化是考虑每一票的时间，一小时前的新“顶”应该比去年的“顶”有更大的效果。其实有些论坛按照最后回复来排列贴子，结果近似于每一个回复都让系统温度提高很多（自动取得所有贴子里的最高温度），而后慢慢冷却。每“顶”一次都把文章提到最前是没有必要的，但可以调节参数得到更有实际意义的模型。其负面作用是或者要记录每一“顶”的时间，增加系统负担，或者要实时记录当前“温度”，而这个“温度”无法从原始数据得出（因为每次“顶”的时间没有记录下来）。

2012年3月16日 04:41 | ∞ | 引用

刘永新说：

这个模型不错！

2012年3月16日 09:12 | ∞ | 引用

乱发吹风说：

那如果是本期有增加赞成票呢，应该怎么计算呢？

是不是可以这样, 先算一下上一期到现在冷却后的得分,然后再加上{本期增加赞成票数}

本期得分 = 上一期得分 × exp(-(冷却系数) × 间隔的小时数) + 本期增加赞成票数

可是{本期增加赞成票数}是否应以1为单位增加呢

2012年3月16日 11:03 | ∞ | 引用

xb 说：

"微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'(t)。" 这个怎么理解？

2012年3月16日 11:06 | ∞ | 引用

αβγ 说：

看得真亲切，物理+微积分～～ :-)

2012年3月16日 22:57 | ∞ | 引用

Mead Lai 说：

我在想,阮gg这个公式编辑器用的是什么?
怎么生成图片的???
看这公式,哥哥又要膜拜了...
到处都是大神啊...

2012年3月17日 12:24 | ∞ | 引用

klein 说：

之前也一直在思考如何将排名算法抽象出来，类比了一些自然现象也不得其解。
直到看到这篇文章，醍醐灌顶啊，真是万物归一，非常感谢分享。

2012年3月17日 19:45 | ∞ | 引用

Ranmocy 说：

引用乱发吹风的发言：
那如果是本期有增加赞成票呢，应该怎么计算呢？

是不是可以这样, 先算一下上一期到现在冷却后的得分,然后再加上{本期增加赞成票数}

本期得分 = 上一期得分 × exp(-(冷却系数) × 间隔的小时数) + 本期增加赞成票数

可是{本期增加赞成票数}是否应以1为单位增加呢

具体的权值应该跟你的网站的特性有关。比如说访问量，赞成票的更新量等等来具体决定吧。

2012年3月19日 09:15 | ∞ | 引用

Ranmocy 说：

引用必填的发言：
一个可能的变化是考虑每一票的时间，一小时前的新“顶”应该比去年的“顶”有更大的效果。其实有些论坛按照最后回复来排列贴子，结果近似于每一个回复都让系统温度提高很多（自动取得所有贴子里的最高温度），而后慢慢冷却。每“顶”一次都把文章提到最前是没有必要的，但可以调节参数得到更有实际意义的模型。其负面作用是或者要记录每一“顶”的时间，增加系统负担，或者要实时记录当前“温度”，而这个“温度”无法从原始数据得出（因为每次“顶”的时间没有记录下来）。

并不需要记录所有“顶”的时间，只需要记录上一次“顶”的时间和当时的温度即可算出当前“顶”之前的一瞬间冷却到什么温度，然后加上这个“顶”所带来的温度的提升即可。
冷却模型没有后效性，所以记录原始数据是没有意义的。
实际工程中应该是离散地迭代来实现的。

2012年3月19日 09:23 | ∞ | 引用

Ranmocy 说：

引用xb的发言：
"微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'(t)。" 这个怎么理解？

速率就是一定时间内变化量与时间的比。

 V = (T(t) - T(t+dt)) / dt = dT(t) / dt = T'(t)

2012年3月19日 09:26 | ∞ | 引用

KCG 说：

有实现的代码参考吗？

2012年3月20日 00:42 | ∞ | 引用

必填说：

引用Ranmocy的发言：
并不需要记录所有“顶”的时间，只需要记录上一次“顶”的时间和当时的温度即可算出当前“顶”之前的一瞬间冷却到什么温度，然后加上这个“顶”所带来的温度的提升即可。
冷却模型没有后效性，所以记录原始数据是没有意义的。
实际工程中应该是离散地迭代来实现的。

是，这基本上就是我说的“实时记录当前‘温度’”。我的想法是，有的时候可能会希望从原始数据重新计算一下温度，比如说想调整冷却系数；如果只记录了当前温度，旧文章和新文章的计算就会有不一致的地方。

2012年3月20日 00:44 | ∞ | 引用

大米说：

你是抄袭的么 http://www.oschina.net/question/12_45050

2012年4月 1日 09:45 | ∞ | 引用

城主说：

非常thought-provoking，但是这里只考虑了冷却问题，还有一个加温的问题，二者在实际运用中往往是结合在一起的。
比如顶（即赞成票）应该是具有时效性的，当前的顶显然比一年前的顶更为重要。

2012年4月 2日 20:42 | ∞ | 引用

北极之北说：

引用大米的发言：
你是抄袭的么 http://www.oschina.net/question/12_45050

那篇下面写的有原文出处，就是这里呀。

2012年4月 9日 16:57 | ∞ | 引用

胡大善人说：

这就是工业界最常用的衰减因子了，每次历史聚合的时候都对上一次的结果进行衰减。
衰减因子主要存在的问题在于是衰减整体投票结果还是衰减投票。
比如历史上不同时间段有赞成票，反对票，以及每个时间段的赞成比例。不管衰减哪个都有优势和劣势

2012年5月16日 15:07 | ∞ | 引用

麦洛Milo 说：

对这个模型很感兴趣。您觉得新浪微博的智能排序使用了什么算法呢？

2012年9月26日 11:08 | ∞ | 引用

dirtysalt 说：

这里只是考虑得分的一种通用自然衰减过程，没有考虑其他因素比如用户参与与外部贡献是吧？

2013年9月 6日 09:34 | ∞ | 引用