作者 | Nicolas Vandeput

译者 | Tianyu

责编 | Jane

出品 | AI科技大本营（ID：rgznai100）

【导语】因为不存在一个适用于所有情况的评价指标，所以评估预测精度（或误差）就变成了一件不是那么容易的事情。只有通过试验，才能知道哪个性能评估指标适用于当前情况。在这个过程中，你会发现每个指标都可以避开某些陷阱，但同时也容易掉进其他陷阱。今天，我们就把几大预测评价指标一一为大家分析对比，从而对它们的适用情况更了解。

先了解一下预测的准确率和偏差：

• 偏差（Bias）指历史平均误差。你的预测结果对于平均值来说，过高还是过低？偏差展示了误差的整体趋势。

• 准确率（Precision）可以评估你的预测值与实际值之间的误差。预测结果的准确率可以揭示误差的大小幅度，但无法体现其整体趋势。

当然，如下图所示，我们想要的预测结果是既有高准确度，又没有偏差。

下面，会讲到五种指标，从它们的定义开始，然后再对比它们的适用与不足。

0、Error(误差）

首先对 error 进行定义，即预测值减去实际值。如果预测值高于实际值，那么误差为正，若低于实际值，则误差为负。

预测性能的评估指标有哪些？

1、Bias

Bias 的定义为误差的平均值。此处，n 为历史的时刻数，即预测值与实际值的个数。

由于一个正误差可能会抵消掉另一个负的误差，因此预测模型可能会得到很低的 bias，而精度却很低。很明显，只使用 bias 不足以对预测精度进行评估。

2、MAPE

平均绝对百分误差（MAPE，Mean Absolute Percentage Error）是评估预测精度的最常用指标之一。MAPE 为每个绝对误差的和除以实际值。实际上，它是误差百分率的平均值。

MAPE 是个很奇特的性能评估指标。由公式可以看出，MAPE 用每个误差值除以实际值，所以会产生倾斜：若某个时刻的实际值很低，而误差很大，就会对 MAPE 的值产生很大影响。因此，对 MAPE 的优化会导致奇怪的预测结果，很可能会使预测值低于实际值。

3、MAE

绝对平均误差（MAE，Mean Absolute Error）是一个很好的预测评估指标。如名字所描述的，它是绝对误差的平均值。

MAE 的第一个缺点是，它没有考虑到实际值的平均数。如果有人告诉你某个预测结果的 MAE 为 10，你无法知道这个结果是好是坏。如果实际值的平均数为 1000，当然这个预测精度是很不错的，但如果实际值平均为 1，这个预测的精度实在太低了。为了解决这个问题，可以用 MAE 除以实际值的平均数，得到一个百分率：

MAPE/MAE 混淆 —— 很多人会使用 MAE 的公式，却把它当成 MAPE。很多人会对此存在混淆。当我和别人讨论预测误差时，我会要求其明确解释预测误差是如何计算的，以免发生混淆。

4、RMSE

均方根误差（RMSE，Root Mean Squared Error）是一个看似不合理却很实用的指标，稍后我们会进行详细解释。它的定义为误差平方平均值的方根。

和 MAE 一样，RMSE 没有考虑到实际值的大小范围。我们同样可以定义一个 RMSE%，如下：

实际上，许多算法（特别是机器学习算法）都是基于均方误差的（MSE，Mean Squared Error）：

MSE 被许多算法使用，因为它计算速度快，且比 RMSE 更容易操作。但它没有考虑到原误差值（因为误差被做了平方计算），可能导致指标无法关联到原始误差值的大小范围。因此，我们不常用它作为评估预测模型精度的指标。

MAE vs RMSW：误差权重

与 MAE 相比，RMSE 对每个误差值不是平等对待的，它会给大的误差更大的权重。这意味着一个过大的误差值会让 RMSE 值很差。

我们来看一个虚构的时间序列：

现在我们对比两个预测结果，这两个结果存在的唯一差别是最后一个预测值：预测 #1 比实际值低 7 个单位，预测 #2 低了 6 个单位。

两次预测结果的性能评估指标如下：

有趣的是，只把最后一次预测的值改变了 1 个单位，就导致整体的 RMSE 值降低了 6.9%（从 2.86 到 2.66），但 MAE 值只降低了 3.6%（从 2.33 到 2.25）。很明显，RMSE 把更大的注意力放在最大的误差值上，而 MAE 给每个误差值相同的权重。你可以自己尝试降低某个误差值，会发现对 RMSE 几乎不会产生影响。

接下来你会看到关于 RMSE 更有趣的特性。

RMSE 的预测实例

刚刚我们介绍了每个性能评估指标的定义（bias、MAPE、MAE、RMSE），但还不清楚它们使用在模型上的差异。有人可能认为用 RMSE 代替 MAE，或者用 MAE 替代 MAPE，不会有太大差异，但事实上不是这样的。

我们来看个简单的例子。假设某个产品每周的销量始终比较低且平稳，偶尔会有一笔大订单（可能受促销活动等影响）。下面是我们观察到的最近几周的销量情况：

对于该产品的销量，我们虚构三个不同的预测结果。第一个预测每天销量为 2，第二个预测每天销量为 4，第三个预测每天销量为 6，如下图所示：

我们看看每个预测的 bias、MAPE、MAE 和 RMSE 结果：

预测 #1 基于 MAPE 表现最好，预测 #2 基于 MAE 表现最好，预测 #3 基于 RMSE 和 bias 表现最好（但基于 MAE 和 MAPE 表现最差）。下面我们来看每个预测结果的组成：

• 预测结果 #1 取了一系列较低的值

• 预测结果 #2 为实际值的中位数

• 预测结果 #3 为实际值的平均数

中位数 vs 平均数 —— 数学最优化

在进一步讨论不同的预测性能评估指标之前，我们花点时间来了解为什么以中位数作为预测值会得到较好的 MAE，以及用平均数作为预测值会得到较好的 RMSE。

这里会涉及一些数学知识，如果你对这些公式不理解，不要在意。你可以略过这部分，直接跳到 RMSE 和 MAE 的结论部分。

1、RMSE

首先来看 RMSE：

实际上，我们可以用它的简化版，即 MSE：

如果你的预测模型把 MSE 当作指标，它会将其最小化。我们可以通过使其导数为零，来将数学函数最小化：

若要使预测最优化，模型会趋于让整体预测值与实际值相等。

2、MAE

接下来，我们对 MAE 做同样的分析：

或者

以及

这意味着

若要使 MAE 最优化（如，使其导数为零），预测模型要让预测值高于实际值的次数等于低于实际值的次数。换句话说，我们希望找到一个值可以把数据集一分为二，这也正是中位数的定义。

3、MAPE

遗憾的是，MAPE 的导数不具备直接明了的特性。我们可以简单认为，MAPE 会优先给出较低的预测值，因为当实际值比较低时，预测误差会被分配较高的权重。

结论

综上所述，在任何模型上，对 RMSE 的最优化是试图找到平均值，而 MAE 的最优化是让预测偏高的次数与偏低的次数相等。不得不承认，MAE 和 RMSE 在数学本质上存在较大的差异。一个瞄准中位数，另一个瞄准平均数。

MAE 还是 RMSE？如何选择？

我们不能说瞄准中位数好或者瞄准平均数好，这不是一个非黑即白的问题。每项技术都存在优点和隐患，下面我们会讨论这个问题。只有经过试验，才能知道哪项技术适用于当前的数据集。你甚至可以同时选择 RMSE 和 MAE。

下面我们花点时间，来讨论选择 RMSE 或 MAE 对偏差值、异常值灵敏度以及无规律序列的影响。

Bias

对于许多实例，你会发现实际值的中位数与平均数不同。可能发生的是，实际值中存在一些峰值，导致整体分布产生偏移。这些偏移的分布在供应链行业常常发生，因为定期的促销活动或客户的批量采购。这会使实际的中位值比平均数低，如下图所示：

这说明预测模型在使 MAE 最小化时会产生偏差，然而在使 RMSE 最小化时不会产生偏差（因为它瞄准的是平均数）。这确实是 MAE 的主要缺陷。

异常灵敏度

如我们所讨论的，RMSE 会为大的误差值分配高权重，同时也要付出代价：对异常点过于敏感。我们看下面的例子：

若一个序列的中位值为 8.5，平均值为 9.5。我们已经知道，如果模型使 MAE 最小化，我们会预测出中位数（8.5），这样整体会比平均数低 1 个单位（bias = -1）。之后你可能会选择对 RMSE 做最小化，预测平均值来避免这种情况。

不过，如果我们突然观察到一个值为 100：

中位数仍然为 8.5，并没有发生改变，但平均值变成了 18.1，在这种情况下，我们不希望预测结果趋近于平均数，而是重新使用中位数。

一般来说，对于存在异常值的情况，中位数比平均数的鲁棒性更强。在供应链产业中，这一点尤为重要，因为我们要面对很多异常点。

对于异常点来说，鲁棒性总是一个好的特性吗？答案是否定的。

无序序列

糟糕的是，在异常点存在的情况下，中位数的鲁棒性可能会对无规律的序列产生非常不好的影响。

试想我们对一个客户出售产品，该产品的利润很高，客户似乎每三个星期中会有一个星期下订单。遗憾的是，客户的购买行为没有任何规律。我们可以观察到其平均数为 33，但而中位数为 0。

我们不得不对该产品做每个星期的预测。试想，我们让预测模型瞄准平均数（33），经过一段时间，我们得到的总平方误差为 6667（RMSE 为 47），总绝对误差为 133（MAE 为 44）。

如果我们让预测模型瞄准中位数（0），我们得到的总绝对误差为 100（MAE 为 33），总平方误差为 10000（RMSE 为 58）。

很明显，对于没有规律的序列，MAE 是一个比较差的性能评估指标。

结论

MAE 会忽略异常值，而 RMSE 会注意到异常值并得到没有偏差的预测。那么应该使用哪个指标呢？很遗憾，不存在确定的答案。如果你是一名供应链领域的数据科学家，你应该多做试验：如果使用 MAE 作为性能评估指标会得到很大偏差，你可能需要使用 RMSE。如果数据集包含很多异常值，导致预测结果产生偏移，你可能需要用 MAE。

还需要注意的是，你可以选择一个或多个评估指标（如 MAE&bias）来计算预测的误差，然后用另一个指标（RMSE？）来对模型进行优化。

还有最后一个技巧，面对实际值较低的序列，可以将其聚合到一个更大的时间范围。例如，如果以星期为周期的值很低，你可以试试按照月份来进行预测，甚至按季度预测。你也可以通过简单的除法，把原始时间序列分解到较小的时间范围上。这一方法可以帮助你更好地使用 MAE 作为评估指标，同时对峰值做平滑处理。

原文链接：

https://medium.com/analytics-vidhya/forecast-kpi-rmse-mae-mape-bias-cdc5703d242d

（*本文为 AI科技大本营编译文章，转载请联系 1092722531）

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