CF#303C Minimum Modular 数学分析
题意:给定一个N个不同的非负整数(每个数不大于10^6),1<=N<=5000,问找到一个最小的m使得N个数去掉最多x(0<=x<k)个数后能够使得N-x个数%m两两不同。
解法:首先可以给定出一个暴力的方法,那就是枚举所有的m,从1开始,然后统计余数相同的数一共多出来多少个,很明显,当多出来的数大于k时则不满足情况,从小到大枚举m遇到第一个满足要求的返回即可。
但是这样很显然会超时,时间复杂度为O(N*10^6),这里有一个优化如下:
统计出所有的两两组合差值的情况,如有两个数x,y如果x % m = y %m,那么(x - y) % m = 0,统计差值将在后面的计算中发挥作用。当算法枚举到一个m的时候,那么我们就可以在O(10^6/m)的时间内统计出所有差值满足(x-y)%m=0的组数,只要统计差值为1*m, 2*m, ... , p*m <= 10^6的总数sum即可。那么这个组数与拥有相同余数多出来的数有什么关系呢?如果(x - y) % m = 0只能够说明他们对m的余数相等,但是不能保证sum组的余数均相等或者均不相等。
那么如果所有的sum组每组的余数不同:如sum = 5, m = 13. 存在如下五组:(13, 26), (14, 27), (15, 28), (16, 29), (17, 30)。那么重复的数就是5。
如果所有sum组每组的余数都相同:如sum = 6, m = 13. 存在如下五组:(13, 26), (13, 39), (13, 52), (26, 39), (26, 52), (39, 52)。那么重复的数就是3。
而可能的取值就是在这两个数之间的,我们取一个下限,即如果下限超过了k则可以判定退出了。k+1个相同余数的数就将不满足题意,他们一共能够生成:C(2, k+1)种组合情况,所以每次验证之前加上这个验证即可。
时间复杂度暂时不知道如何计算。
代码如下:
#include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std;int gap[1000005]; int N, K; int seq[5005]; char lef[1000005];int main() {int MM, cnt, sum;while (scanf("%d %d", &N, &K) != EOF) {MM = -1;memset(gap, 0, sizeof (gap));for (int i = 0; i < N; ++i) {scanf("%d", &seq[i]);MM = max(MM, seq[i]);}for (int i = 0; i < N; ++i) {for (int j = 0; j < i; ++j) { // 无重复选出两两组合 ++gap[abs(seq[i] - seq[j])];}}MM = MM + 1;int flag = 0;for (int m = 1; m <= MM && !flag; ++m) {cnt = sum = 0;for (int i = m; i <= MM; i += m) {sum += gap[i];if (sum > K*(K+1)/2) break;}if (sum > K*(K+1)/2) continue;flag = m;for (int i = 0; i < N; ++i) {int k = seq[i] % m;if (!(lef[k])) lef[k] = 1;else if(++cnt > K) { // cnt用于统计重复度flag = 0;break;}}for (int i = 0; i < N; ++i) {lef[seq[i] % m] = 0;}}printf("%d\n", flag);}return 0; }
转载于:https://www.cnblogs.com/Lyush/archive/2013/05/14/3077258.html
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