WC2017 Day1

字符串算法

0x00 字符串的性质

• 字符串的周期（period）:例如abcabca 周期为3
• 字符串的border ：相同前后缀
• 显然如果一个长为s字符串有长度为r的border，则其有长度为s-r的period

• border有什么用？KMP

• 后缀数组：可以求两个子串的最长公共前缀（LCP）

• LCP和周期性：如果一个字符串有周期p，则i与i+p的LCP为s-p-i+1

• Weak Periodicity Lemma：p和q都是s的周期，p+q<=|s|，则gcd(p,q)也是s的周期
• Periodicity Lemma（周期引理）：p和q都是s的周期，p+q-gcd(p,q)<=|s|，则gcd(p,q)也是s的周期

• 这两个定理都十分显然，弱化版可以先证p-q也是周期，然后辗转相减，标准版不予证明

• 字符串匹配 引理：u,v满足2|u|>=|v|，则u在v中所有匹配位置组成一个等差数列，用border的性质和周期引理可证
• border的结构：s所有不小于|s|/2的border长度构成等差数列，同样用border性质和周期引理可证

• 把border按长度分类：[1,2),[2,4),[4,8)…….每一类里长度都是等差数列，则周期也有类似性质（这一个没听懂，下面所有涉及这个的都没懂）

• 如果|v|>=|w|/2，|v|是2的幂次，且w,v都是s的子串，如何求v在w中的匹配位置？

• 可以用类似倍增求后缀数组的做法，把w中长度为|v|的拎出来排序

0x01 字符串循环移位

• 字符串的循环移位：一般有n种，如果最小周期p|n，则只有p种不同的循环移位，每种出现n/p次
• 循环同构？破环成链，在链上匹配（等差数列）
• 可以优化，需要用到上面没听懂的那个性质

0x02 回文串

• Manacher

• 回文树

• 引理：s是回文串，s的后缀（前缀）t是回文串当且仅当t是s的border，用显然法证明

• 推论：任意字符串所有回文后缀的长度是logn个等差数列（又是你！）

• 最小回文串拆分：manacher+dp，dp[i]=min{dp[j]+1，s[j..i]是回文串}，复杂度O(N^2)，可以用上面的推论优化成nlogn

• 判断是否存在非平凡（l>=2）回文串拆分：显然有个n^2 dp做法，和上面的问题一样，然而存在线性做法
• 显然的想法：维护从每个点出发的最短（>=2）回文串，贪心取最短串，尝试证明：
• 设从一点出发实际段长为d，最短段长为f[i]
• 若f[i]>=d/2 可以找到一个更短的前缀回文串：d-f[i]是周期=>2(d-f[i])是周期=>d-2(d-f[i])是border=>d-2(d-f[i])是一个更短的前缀回文串，这里要特判d=2f[i]-1的情况
• 若f[i]i],f[i]+1..d-f[i],d-f[i]+1..d，都是回文串，这里要特判d=2f[i]+1的情况

• 单纯贪心不太好使，三种情况，O(3)转移dp

• 双回文串：a,b都是回文串，则ab是一个双回文串
• s=x1x2=y1y2=z1z2，如果y1,y2,x2,z1都是回文串，x1
• 判断s能否拆成不超过4个回文串？

• 穷举中间断点，判断前后能否用两个以内的回文串组成，预处理。

0x03 字典序

• 全是后缀数组，没怎么听懂

Ulam 猜数游戏

0x00 内容

• 回答方选择一个数x
• 询问方询问一个集合s，回答方回答x是否在s内
• 回答方可以撒谎不超过k次
• 回答方可以变更选择的数(必须合法)
• 拓展：询问必须事先确定（离线询问）

0x01 策略

先考虑离线情况

提问方

朴素策略:每次询问二进制位上的一位，每次询问重复k+1次，最坏次数是$ \left ( k+1 \right ) \log_2{n}+1\(，对所有k和离线都适用，离线的话要询问k+2次，最坏次数\)\left ( k+2 \right ) \log_2{n}$

• 0 1 2 3 4 5 6 7
• 1 3 5 7 倒数第一位为1？
• 2 3 6 7 倒数第二位为1？
• 4 5 6 7 倒数第三位位1？

问题转化

• 传输一个长为$ log_2{n}$的01串，传输有噪音，有不超过k位被修改
• k=1的情况
• 算法0:朴素算法，每个位置询问3次
• 算法1:每个位置询问2次，加一个奇偶校验，询问最终01串中1的奇偶性
• 算法2:每个位置询问1次，把询问位置1到n标号，设立$ log_2(log_2{n}+1)$个奇偶校验，第k个奇偶校验用于检查二进制位上第k位为1的位置构成的串的奇偶性，同时对整个串设一个奇偶校验
• 算法3:hamming code

细化模型

• 是一个信道编码问题
• 编码 传输 译码

• 编码要求:传输过程中受到噪声影响仍能正确译码

• 等价于将n维空间中的$ 2^n$个点映射到m个点上

在线情况

• k=1时，离线与在线算法的最优解满足:在线<=离线<=在线+1，我不会证

回答方的策略？

• 回答方有两种选择，将游戏引向两种状态
• 哪个状态对询问方更不利？信息熵（不确定性）更大的那个。
• 一个重要的评判策略:如果这个数是x，那回答方还能撒谎的次数p
• 记当前p为i的数有$ w_{i}\(个，W是\) w_{i}$的有序集合
• 一个状态可以用W表示，开始时的状态$ \left { n,0,0,0,0..... \right }$
• 询问方可以直接得到答案的W满足$ \sum wi=1$

如何维护W？

• 考虑回答者的视角，按一次询问是否涉及一个数把W分成A询问到,B没询问到两个集合
• yes？相当于你对所有b撒谎了
• no？相当于你对所有a撒谎了
• 以yes为例，$ w_{i}=a_{i}+b_{i-1}$，相当于b被右移一位

如何量化信息熵？

• 设$ V_{q}\left(W\right)=\sum_{i}^{k}w_{i}\sum_{j}^{i}\binom{q}{j}$

• q表示在q次询问内得出答案
• 此为估价函数(搜索空间的体积)
• 这个玩意取对数就是信息熵

• 感性认识:后面那个组合数就是撒谎方式的数量

Vq的性质

• $ V_{q}\left(W\right)=V_{q-1}\left(W_{yes}\right)+V_{q-1}\left(W_{no}\right)$
• $ V_{q}\left(W\right)\leqslant 2^q$是能在q次询问内得出解的必要条件

根据第二条性质，可以用$ V_{q}$评价一个状态

这就可以搞了，回答方根据这个估价函数决定回答策略

再回头看询问方的策略？

• 相当于n个数$ a_{i}$，分成两堆，要求差最小
• 没有多项式做法，可以贪心(论文《论一类启发式算法在信息学竞赛中的应用》)

0x02 Ulam游戏的实质

• k=1时，其实是容错的二分搜索
• 如果$ k\neq 1$？
• 变成了一个k+1划分问题
• 回答方:性质2变成$ V_{k,q}\left(W\right)=\sum_{i}^{k}wi\sum_{j}^{i}\left(k+1\right) \binom{q}{j}\leqslant k^q$

0x03 其他问题

有一堆球，其中有一个比其他球轻一些，要求只用一架天平，用最少的次数找出这个球

• 三叉搜索，要求其中两个集合大小一样
• 如果天平有不超过k次会出错？
• 容错三叉搜索问题

N个数，大小未知，比较器会有不超过e次出错，用最少的比较次数求其中最大项

• 朴素策略，每次疯狂询问，直到一个返回值出现大于e+1次
• 理论复杂度(e+1)(n-1)+e
• 然而这是理论最优
• 构造一个回答策略，前(e+1)(n-1)-1次询问如实回答
• 定义“负票”这个概念：如果比较器返回了a比b小，则称a收到一张负票
• 显然如果一个数收到e+1张负票，那这个数不可能是最大值
• 前面的一阶段的询问中显然有一个$ x_{m}\(收到的负票小于等于e，且有一个数\) x_{n}$没有收到负票
• 在后面的e个询问中，运用撒谎不让$ x_{m}$收到的负票超过e
• 最后询问方无法确定$ x_{n}\(还是\) x_{m}$是最大值，需要再询问一次，总数是(e+1)(n-1)+e

容错排序，没有重复元素，不考虑常数

• 随便选一个$ nlog_2{n}\(比较排序，运用前面的思路可以得到一个\) enlog_2{n}$排序
• 考虑插入排序，平衡树维护序列
• 插入时不考虑出错问题
• 插入后和前驱后继元素O(e)比较一下
• 最终复杂度$ O((n+e)log_2{n}+(n+e)e)$ log是插入，e是判错

IOI2016 题解

练习赛前三题都是傻逼题，按下不表

练习赛T4

有一个01串S，你每次可以询问一个01串是不是S的子串，最终要求输出S

• 36分，贪心向后加01，不能加了以后向前加01，期望复杂度2n
• 100分：
• 做法1:贪心加01，但只询问一次，如果连续询问k次都不对，就认为长度过长了，在这个后缀里二分求出最长长度，k取15可过
• 做法2:确定性算法，先二分出最长全0串长度为l，向后加1并判断，如果连续l+1个不合法就说明过长，复杂度貌似很大，实际是$ n+2log_2{n}$可过

D1T1

有n个数$ a_{i}\(，要求找出一个集合B使\) \sum bi \in [L,R]\(，满足\) R-L>a_{max}-a_{min}$

• 从小到大排序，贪心往里加直到加不下，设当前加不进去的一个数是$ a_{k}\(，由于题目给出的性质，\) a_{k}-a_{1}\(肯定能加进去，那把\) a_{k}\(加进去，\) a_{1}$删掉，继续往后扫
• 答案一定是一个连续区间或者是前缀和+后缀和
• 做法多种多样

D1T2

有一些铁轨，每个铁轨i要求进入速度不大于$ s_{i}\(，出来速度会变成\) t_{i}$，初始速度为1，你可以用1的代价使速度-1，要求最小化代价通过所有铁轨，通过的顺序任意安排

• Subtask3：判断代价是否为0，对每个速度建一个点，初始速度为0，最终速度为INF，铁轨看作边，中间点补上向速度+1的边，判断0到INF是否联通

• 欧拉路径

• 100分，还用刚才的模型，现在可以用1的代价添加一条i到i-1的边，现在唯一的问题是不联通
  现在可以用一定的代价使i到i+1联通(离散化之后)，最终的目标是是整个图联通，由于中间是欧拉路径，等价于一个无向图，这是什么东西？MST！

D1T3

一条链，每个点上额外挂一个点，每条边有权，在两个链上的点之间加一条边长为c，要求最小化两点间最短距离的最大值

• 二分答案，分类讨论两点与边两端的位置关系，转化为对边两端的位置限制，two pointers搞一搞，枚举限制关系可过3000
• 求限制关系的时候可以枚举j，线段树询问i，可过300000
• two pointer优化寻找i，j限制，可A

D2T1

一个长为n黑白串，给出一些位置的颜色，并且顺序给出所有k段极大连续黑色的长度，问哪些位置的颜色可以确定

• O(nk) DP，判断每个位置是否能为黑/白，
• 白色很好判断，扫一遍
• 黑色的话，穷举k，前缀和打标记，开始+1末尾-1

D2T2

交互题，有个机器，支持输入一个长度为n的01串，查询是否存在一个长度为n的01串，这个机器会把你输入的01串按照一个排列$ p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}p_{5}...p_{n}$重排，求这个排列

• 分治，每次把区间二分，对左半区间内每个数i，构造一个数第i位为1，这个区间内其他数为0，区间外的数为1
• 复杂度$ nlog_2{n}$

D2T3

一个大正方形中有一些点，要求用不超过k个小正方形覆盖这些点，小正方形的对角线必须在大正方形对角线上，最小化小正方形面积并

• 不妨把左下的关键点翻折到右上，并把无用的点删除，则每个正方形会覆盖一段连续的点，考虑dp，直接转移是$ kn^2$，满足决策单调性，斜率优化得kn

• 这种选取不超过k的dp，如果dp[n][k]是一个关于k的凸函数，可以用二分一个斜率去切这个函数，直到切点为k时即为答案，
  这里可以二分每个小正方形的代价c，用c去切每个dp位置，最终复杂度为$ nlog_2{nk}$

BM算法

• 口音太重，啥都听不懂

感想

• 冬眠营，掉线营
• 听个头啊
• 怎么口音这么重