1. 数组相加

一个 2*5 维的数组对象和一个 1 维的数组对象进行相加，结果会怎样？

In [1]: import numpy as npIn [2]: a = np.arange(10).reshape(2,5)In [3]: a
Out[3]:
array([[0, 1, 2, 3, 4],[5, 6, 7, 8, 9]])In [4]: b = np.array([2])In [5]: a + b
Out[5]:
array([[ 2,  3,  4,  5,  6],[ 7,  8,  9, 10, 11]])In [6]:

可以看到在维度不同时是将小维度的值全部匹配到大维度的值上，即把 a 中的每个元素都加上 b 的元素。但是看看下面的计算。

In [12]: c = np.array([1,2])In [13]: c
Out[13]: array([1, 2])In [14]: a + c
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-14-e81e582b6fa9> in <module>
----> 1 a + cValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,5) (2,) In [15]: c.shape
Out[15]: (2,)In [16]:

为什么 2*5 维的数组和 2 维的数组相加会报错呢？这是因为 Numpy 的广播机制。因为 a、c 按照广播的规则，无法达成一致的 shape，所以抛出异常。

因为广播机制的存在，b 数组会适配 a 数组，按照第 0、1 维度，分别发生一次广播，广播后的 b 变为：

In [21]: b
Out[21]: array([2])In [22]: b = np.tile(b,(2,5))In [23]: b
Out[23]:
array([[2, 2, 2, 2, 2],[2, 2, 2, 2, 2]])In [24]:

然后，执行再执行加法操作时，因为 a、b 的 shape 变得完全一致，所以就能实现相加操作了。

2. 广播规则

从上面我们可以看到，不是任意 shape 的多个数组，操作时都能广播到一起，必须满足一定的约束条件。

NumPy 首先会比较最靠右的维度，如果最靠右的维度相等或其中一个为 1，则认为此维度相等；
那么，再继续向左比较，如果一直满足，则认为两者兼容；
最后，分别在对应维度上发生广播，以此补齐直到维度一致；

如下，两个数组 a、b，shape 分别为 (2,1,3)、(4,3), 它们能否广播兼容？我们来分析下。

a = np.arange(6).reshape(2,1,3) # shape: (2,1,3)
b = np.arange(12).reshape(4,3) # shape: (4,3)

按照规则，从最右侧维度开始比较，数组 a, b 在此维度上的长度都为 3，相等；
继续向左比较，a 在此维度上长度为 1，b 长度为 4，根据规则，也认为此维度是兼容的；
继续比较，但是数组 b 已到维度终点，停止比较。

结论，数组 a 和 b 兼容，通过广播能实现 shape 一致。

3. 广播步骤

下面看看，数组 a 和 b 广播操作实施的具体步骤。

In [1]: import numpy as npIn [2]: a = np.arange(6).reshape(2,1,3)In [3]: b = np.arange(12).reshape(4, 3)In [4]: a
Out[4]:
array([[[0, 1, 2]],[[3, 4, 5]]])In [5]: b
Out[5]:
array([[ 0,  1,  2],[ 3,  4,  5],[ 6,  7,  8],[ 9, 10, 11]])In [6]:

维度编号从 0 开始，数组 a 在维度 1 上发生广播，复制 4 次：

In [6]: a = np.repeat(a, 4, axis=1)In [7]: a
Out[7]:
array([[[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2]],[[3, 4, 5],[3, 4, 5],[3, 4, 5],[3, 4, 5]]])In [8]:

此时，数组 a 和 b 在后两个维度一致，但是数组 b 维度缺少一维，所以 b 也会广播一次：

In [8]: b = b[np.newaxis,:,:]   # 首先增加一个维度In [9]: b
Out[9]:
array([[[ 0,  1,  2],[ 3,  4,  5],[ 6,  7,  8],[ 9, 10, 11]]])In [10]: b = np.repeat(b,2,axis=0)  # 在维度 0 上复制 2 次In [11]: b
Out[11]:
array([[[ 0,  1,  2],[ 3,  4,  5],[ 6,  7,  8],[ 9, 10, 11]],[[ 0,  1,  2],[ 3,  4,  5],[ 6,  7,  8],[ 9, 10, 11]]])In [12]:

经过以上操作，数组 a 和 b 维度都变为 (2,4,3)，至此广播完成，做个加法操作：

In [11]: b
Out[11]:
array([[[ 0,  1,  2],[ 3,  4,  5],[ 6,  7,  8],[ 9, 10, 11]],[[ 0,  1,  2],[ 3,  4,  5],[ 6,  7,  8],[ 9, 10, 11]]])In [12]: a
Out[12]:
array([[[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2],[0, 1, 2]],[[3, 4, 5],[3, 4, 5],[3, 4, 5],[3, 4, 5]]])In [13]: a + b
Out[13]:
array([[[ 0,  2,  4],[ 3,  5,  7],[ 6,  8, 10],[ 9, 11, 13]],[[ 3,  5,  7],[ 6,  8, 10],[ 9, 11, 13],[12, 14, 16]]])In [14]:

验证我们自己实现的广播操作，是否与 NumPy 中的广播操作一致，直接使用原始的 a 和 b 数组相加，看到与上面得到的结果一致。

In [14]: a = np.arange(6).reshape(2,1,3)In [15]: b = np.arange(12).reshape(4,3)In [16]: a + b
Out[16]:
array([[[ 0,  2,  4],[ 3,  5,  7],[ 6,  8, 10],[ 9, 11, 13]],[[ 3,  5,  7],[ 6,  8, 10],[ 9, 11, 13],[12, 14, 16]]])In [17]:

至此，我们已经了解了广播的规则，所以再遇到如下的广播错误时，我们就可以很清楚的知道该如何解决这样的错误。

ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,5) (2,)

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