什么是NumPy?

NumPy(Numerical Python) 是 Python 语言的一个扩展程序库，支持大量的维度数组与矩阵运算，此外也针对数组运算提供大量的数学函数库。

NumPy 的前身 Numeric 最早是由 Jim Hugunin 与其它协作者共同开发，2005 年，Travis Oliphant 在 Numeric 中结合了另一个同性质的程序库 Numarray 的特色，并加入了其它扩展而开发了 NumPy。NumPy 为开放源代码并且由许多协作者共同维护开发。

NumPy 是一个运行速度非常快的数学库，主要用于数组计算，包含：

• 一个强大的N维数组对象 ndarray
• 广播功能函数
• 整合 C/C++/Fortran 代码的工具
• 线性代数、傅里叶变换、随机数生成等功能

特征值和特征向量的定义

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

特征值 是方程式Ax=ax的标量解(scalar solutions)，其中A是一个二维矩阵，而x是一维向量。 特征向量 实际上就是表示特征值的向量。

提示：

特征值和特征向量都是基本的数学概念，并且常用于一些重要的算法中，如 主成分分析(PCA) 算法。PCA可以极大地简化大规模数据集的分析过程。

用NumPy进行计算

计算特征值时，可以求助于numpy.linalg程序包提供的eigvals()子例程。函数eig()的返回值是一个元组，其元素为特征值和特征向量。

可以用子程序包numpy.linalg的eigvals()和eig()函数来获得矩阵的特征值和特征向量，并通过dot()函数(详见本书对应的eigenvalues.py文件)来验算结果。

import numpy as npA = np.mat("3 -2;1 0")print "A", Aprint "Eigenvalues", np.linalg.eigvals(A)eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)print "First tuple of eig", eigenvaluesprint "Second tuple of eig", eigenvectorsfor i in range(len(eigenvalues)):　　 print "Left", np.dot(A, eigenvectors[:,i])　　 print "Right", eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i]　　 print

下面来计算一个矩阵的特征值。

1．创建矩阵。

下列代码将创建一个矩阵：

A = np.mat("3 -2;1 0")print "A", A

下面的矩阵即刚才创建的矩阵。

A[[ 3 -2] [ 1　　0]] 

2．利用e``ig()函数计算特征值。

这时，我们可以使用eig()子例程：

print "Eigenvalues", np.linalg.eigvals(A)

该矩阵的特征值如下：

Eigenvalues [ 2.　　1.] 

3．利用eig()``函数取得特征值和特征向量。

利用eig()函数，可以得到特征值和特征向量。注意，该函数返回的是一个元组，其第一个元素是特征值，第二个元素为相应的eigenvectors，其以面向列的方式 排列：

eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)print "First tuple of eig", eigenvaluesprint "Second tuple of eig", eigenvectors

特征值eigenvalues和特征向量eigenvectors的值为：

First tuple of eig [ 2.　　1.]Second tuple of eig[[ 0.89442719　　0.70710678] [ 0.4472136　　 0.70710678]] 

4．验算结果。

通过dot()函数计算特征值方程式Ax = ax两边的值，就可以对结果进行验算：

for i in range(len(eigenvalues)):　　 print "Left", np.dot(A, eigenvectors[:,i])　　 print "Right", eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i]　　 print

输出内容如下所示：

Left [[ 1.78885438] [ 0.89442719]]Right [[ 1.78885438] [ 0.89442719]]Left [[ 0.70710678] [ 0.70710678]]Right [[ 0.70710678] [ 0.70710678]] 

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