可微偏导数一定存在_【导数压轴题】“偏导数”与含参不等式

“证明不等式”是导数压轴题经常出现的题目，难度较大。

为什么说难度较大呢？因为这类题目通常没有通法，并且技巧性较强。

一般情况下，这类不等式只有一个变量，例如：

。

当然也不缺少带有参数的“莫名其妙”的不等式，例如以下题目（2018年福建省质检）：

例1 已知函数

。

（1）讨论

的单调区间；

（2）若

，求证：当

时，

。

注不得不说一下这一场“省质检”的惨案：

这场考试的数学据说“文科生拿到卷子后，以为拿到了理科的卷子；理科生拿到卷子后，以为拿到了竞赛的卷子”。大家也可以找来卷子，自己感受一下。

这道题目在后面会给出解答。

一、从简单的例子出发

在上面我们见到了一个“很简单”的不等式：

。

怎么把它变成所谓的“含参”不等式呢？见下题：设实数

，证明：

。

这个问题不难，直接放缩即可：注意到

，因此

，证毕。

但是这个问题背后还是有些值得深挖的东西的。

第一个不等号，也即

，实际上将

固定住，把

看作一个变量。

注意到“

这个变量”的取值范围是

，因此有

。

令

，其中

，此处将

视为常量。

，

在

单调递增。

因此

。

接下来只需证明

，而这是显然的。

这种方法有时候被叫做“主元法”，但是我比较喜欢把它叫做“偏导数”或是“偏微分”，因为听起来比较酷。

二、“偏导数”

像上面这样“固定”其它变量，先对一个变量“求导”，就叫做偏导数。

导数的运算法则和一般的求导一模一样，只是变量变了而已。

例如，如果有二元函数

，其中

，

对

求导则有

，对

求导则有

。

这个工具在高等数学中非常重要，但是高中一般不怎么涉及，因此在这里不多加介绍。

三、“偏导数”的应用

接下来，我们来看文章开头的那道题目：

例1 已知函数

。

（1）讨论

的单调区间；

（2）若

，求证：当

时，

。

（1）解答此处省略，具体过程可以参考以下文章：

Dylaaan：【035】“偏导数”的应用（2018年福建省质检）zhuanlan.zhihu.com

（2）证明注意到

，因此我们先将

视为变量。

令

，

因此函数

在

单调递增，

，只需证明

，其中

。

到这里，变量只剩下了

，虽然看上去有些复杂，但比原不等式简单多了。

令

，其中

，

在

单调递增，在

单调递减

因此

，证毕。

事实上，构造出来的

为关于

的一次函数，其一次项

恒正。

因此可以知道

单调递减，甚至可以不用求导。

下面这道题目，是2017年福建省单科之间的压轴题：

（也许福建的老师比较喜欢这种题目吧，叹气）

例2 已知函数

，

。

（1）若

不存在极值点，求

的取值范围。

（2）若

，证明：

。

（1）解答此题不难，此处省略。

（2）证明由

，

知

，下证该不等式在

成立。

和上面的题目类似，我们先固定

。令

，

。

，

在

单调递增。

因此

，只需证明

。

考虑对

进行分类：

若

，则

，

，该不等式成立；

若

，则

，只需证明

。

令

，

。

因此

，该不等式成立。

综上，不等式

在

成立，证毕。

还不过瘾？再来几道题目。

这几道题目比较新，是2019年厦门市3月质检的题目。

（看来福建省的老师真的比较喜欢这种题目）

例3 设函数

，

。

（1）求

的极值；

（2）证明：

。

（1）解答此题不难，此处省略。

（2）证明注意到

，

。

因此只需证明

，其中

。

考虑对原不等式进行整理，

，到这里已经很简单了。

注意到

，

，其中

。

因此

，取等时当且仅当

，证毕。

例4 已知函数

。

（1）若

，求

的单调区间；

（2）若

，

，求证：

。

（1）解答此处省略，具体过程可以参考以下文章：

Dylaaan：【031】指对不等式（2019年厦门3月质检）zhuanlan.zhihu.com

（2）证明令

，

因此

，

只需证明

，其中

。

这个不等式的证明还是有些难度的，但是有了第一步的题目，思路还算自然。

由（1）知：当

时，

用

代替

得：

，其中

因此

取等时当且仅当

，证毕。

注此处应该特别注意：

时，

。