一、限制条件的非降路径数

从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (n,n)(n,n)(n,n) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数 ?

此时无法使用基本公式进行处理了 , 必须使用组合对应的思想 ;

上图示例中 , 从 (0,0)(0,0)(0,0) 出发到 (n,n)(n,n)(n,n) , 只有两个端点 (0,0)(0,0)(0,0) 和 (n,n)(n,n)(n,n) 接触了对角线 , 中间的每一步都没有接触该对角线 ;

1 . 计算原理 , 先计算对角线下方的非降路径 : 这里只计数在对角线下方的非降路径数 , 因为对角线上下的非降路径是对称的 , 因此这里先将对角线下方的非降路径计算出来 ;

对角线下方的非降路径乘以 222 , 就是总的不接触对角线的非降路径数 ;

2 . 出发点分析 : 从 (0,0)(0,0)(0,0) 出发后 , 第 111 步必须向右走 , 走到 (1,0)(1, 0)(1,0) 点 , 如果向上走就不能再下来了 ( 否则就会接触对角线 ) , 此时就不是对角线下方的非降路径了 ;

3 . 终止点分析 :

到达 (n,n)(n,n)(n,n) 点 , 只有两种情况 :

对角线上方 : 一种情况是从左边 (n−1,n)(n-1 , n)(n−1,n) 到右边的 (n,n)(n,n)(n,n) 点 , 该路径在对角线上方 ;
对角线下方 : 一种情况是从下边 (n,n−1)(n , n-1)(n,n−1) 到上边的 (n,n)(n,n)(n,n) 点 , 该路径在对角线下方 ;

由于当前只统计对角线下方的非降路径数 , 到达 (n,n)(n,n)(n,n) 之前的一步 , 必须是从 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 位置走到 (n,n)(n,n)(n,n) 的 ;

4 . 对应关系

上述出发点之后必须走 (1,0)(1, 0)(1,0) 点 , 终点之前必须走 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 点 ,

因此在对角线下方从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (n,n)(n,n)(n,n) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数

等价于

从 (1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数

5 . 计算 (1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数

下面讨论 “从 (1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数” 的计数方式 ;

使用反向思路考虑 , 统计从 (1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 之间 , 接触过对角线的非降路径 , 剩下的就是不接触对角线的路径 ;

上述两者的总数是 C(2n−2,n−1)C(2n-2 , n-1)C(2n−2,n−1) 个 ;

上图是一个 “从 (1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) , 接触过对角线的非降路径” ,

图中的红色点 AAA 是该非降路径最后接触对角线的位置 , 前面可能有多次接触该对角线 ;

将 (1,0)(1, 0)(1,0) 点与 AAA 点之间的蓝色线段 , 关于对角线作对称图像 , 得到红色线段 ,

上图中的蓝色线段起点是 (1,0)(1,0)(1,0) , 那么对应的红色线段的起点必定是 (0,1)(0,1)(0,1) ;

每一条从 (1,0)(1,0)(1,0) 开始到 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 的接触对角线的非降路径 , 都有蓝色的线段 , 都可以使用对称的方法 , 得到一个从 (0,1)(0,1)(0,1) 到达 AAA 点的红色线段 ;

这里就得到了一个组合对应关系 :

每条从 (0,1)(0,1)(0,1) 出发 , 到 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 的非降路径 ( 即将红色的线段与剩余的黑色线段可以拼接起来的路径 )

都可以与

从 (1,0)(1,0)(1,0) 出发 , 到 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 的接触对角线的非降路径

一一对应 ;

因此如果要求 "从 (1,0)(1,0)(1,0) 出发 , 到 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 的接触对角线的非降路径数 " , 可以通过求 “从 (0,1)(0,1)(0,1) 出发 , 到 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 的非降路径数” ;

“从 (0,1)(0,1)(0,1) 出发 , 到 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 的非降路径数” 可以使用公式进行计算 , 结果为 C(2n−2,n)C(2n - 2 , n)C(2n−2,n) ,

对应的 "从 (1,0)(1,0)(1,0) 出发 , 到 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 的接触对角线的非降路径数 " , 结果为 C(2n−2,n)C(2n - 2 , n)C(2n−2,n) ;

6 . 计算 (1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 的所有非降路径数

根据公式计算即可 , 结果是 : C(2n−2,n−1)C(2n - 2 , n-1)C(2n−2,n−1)

7 . 计算 (1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数

"(1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数" 就是

"(1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 的所有非降路径数" 减去 "(1,0)(1, 0)(1,0) 到 (n,n−1)(n,n-1)(n,n−1) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数" ;

C(2n−2,n−1)−C(2n−2,n)\ \ \ \ C(2n - 2 , n-1) - C(2n - 2 , n) C(2n−2,n−1)−C(2n−2,n)

=(2n−2n−1)−(2n−2n)=\dbinom{2n - 2}{n-1} - \dbinom{2n - 2}{n}=(n−12n−2)−(n2n−2)

8 . 计算从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (n,n)(n,n)(n,n) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数

上面的 (2n−2n−1)−(2n−2n)\dbinom{2n - 2}{n-1} - \dbinom{2n - 2}{n}(n−12n−2)−(n2n−2) 只是计算的是对角线下面的非降路径数 ,

从 (0,0)(0,0)(0,0) 出发 , 到 (n,n)(n,n)(n,n) 不接触对角线的非降路径数 , 再乘以 222 , 就得到了本题目的最终结果 ;

从 (0,0)(0,0)(0,0) 到 (n,n)(n,n)(n,n) 除端点外 , 不接触对角线的非降路径数

最终结果是 : 2[(2n−2n−1)−(2n−2n)]2[\dbinom{2n - 2}{n-1} - \dbinom{2n - 2}{n}]2[(n−12n−2)−(n2n−2)]

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